Exercice 16

1. On effectue chaque opération séparément, à partir de $A$ : $$L_{1} \leftrightarrow L_{2} \;:\; \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \qquad L_{2} \leftarrow 3L_{2} \;:\; \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 12 & 15 & 18 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \qquad L_{3} \leftarrow L_{3}-2L_{1} \;:\; \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 5 & 4 & 3 \end{pmatrix}$$

2. Chaque matrice $E$ s'obtient en effectuant l'opération sur $I_{3}$ : $$\boxed{P=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad M=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad S=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$ Justification. La $i$-ième ligne de $EA$ est la combinaison des lignes de $A$ dictée par la $i$-ième ligne de $E$. Prendre pour $E$ le résultat de l'opération sur $I_{3}$ revient donc exactement à effectuer cette opération sur $A$. On vérifie par exemple $SA=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 5 & 4 & 3 \end{pmatrix}$ ✓

3. Chacune est inversible, et son inverse réalise l'opération réciproque : $$\boxed{\begin{array}{lll} P^{-1}=P & \text{qui réalise} & L_{1} \leftrightarrow L_{2} \\[1mm] M^{-1}=\mathrm{diag}\!\left(1 \,;\, \tfrac{1}{3} \,;\, 1\right) & \text{qui réalise} & L_{2} \leftarrow \tfrac{1}{3}L_{2} \\[1mm] S^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} & \text{qui réalise} & L_{3} \leftarrow L_{3}+2L_{1} \end{array}}$$ On retrouve la remarque du cours : toute opération élémentaire est réversible, parce que la matrice associée est inversible.

4. Si $\lambda=0$, la matrice associée serait $\mathrm{diag}(1\,;0\,;1)$, dont la deuxième ligne est nulle : elle n'est pas inversible. $$\boxed{\text{L'opération serait irréversible : la ligne effacée ne pourrait pas être reconstituée.}}$$