Exercice 23 Vrai ou faux

1. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ L'exemple du cours et l'exercice 1 donnent $AB \neq BA$. Le produit ne devient commutatif que pour $n=1$, où il se réduit à celui des scalaires.

2. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ L'exercice 2 exhibe deux matrices non nulles de produit nul : l'anneau $\mathcal{M}_{n}(K)$ possède des diviseurs de zéro.

3. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ C'est la définition même de la matrice d'une application linéaire, et la seule règle à mémoriser.

4. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ Le théorème 1 donne $\mathrm{Mat}(v \circ u)=\mathrm{Mat}(v) \times \mathrm{Mat}(u)$ : l'application qui agit en premier a sa matrice à droite. L'exercice 10 le vérifie, et montre au passage que l'autre produit peut même ne pas être défini.

5. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ C'est la proposition 3, utilisée à l'exercice 15.

6. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ La proposition 2 donne $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$, et l'exercice 14 fournit un contre-exemple explicite.

7. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ C'est la remarque qui suit la définition des opérations élémentaires, démontrée à l'exercice 16 : la matrice associée s'obtient en effectuant l'opération sur $I_{n}$.

8. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ C'est la dernière phrase de la méthode du cours, illustrée par la matrice $C$ de l'exercice 17. L'algorithme décide de l'inversibilité en cours de route.

9. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ La définition exige $\lambda \neq 0$. Sinon l'opération n'est pas réversible, comme le montre la question 4 de l'exercice 16.

10. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ C'est la proposition 4, démontrée à l'exercice 20.