Exercice 22

1. La matrice nulle est triangulaire supérieure, et si $A$ et $B$ le sont, alors pour $i>j$ le coefficient $(\lambda A+B)_{i,j}=\lambda a_{i,j}+b_{i,j}$ est nul. Une base est donnée par les $E_{i,j}$ avec $i \leqslant j$, dont le nombre est celui des couples $(i\,;j)$ tels que $i \leqslant j$. $$\boxed{\dim \mathcal{T}_{n}=1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}}$$

2. Soient $A$, $B \in \mathcal{T}_{n}$ et $i>j$. Alors : $$(AB)_{i,j}=\sum_{k=1}^{n} a_{i,k}\,b_{k,j}$$ Pour $k<i$, le coefficient $a_{i,k}$ est nul ; pour $k \geqslant i$, on a $k>j$, donc $b_{k,j}$ est nul. Tous les termes de la somme sont nuls.

Pour la diagonale, le même découpage laisse subsister le seul terme $k=i$ : $$\boxed{AB \in \mathcal{T}_{n}, \text{ et } (AB)_{i,i}=a_{i,i}\,b_{i,i}}$$

3. L'ensemble $\mathcal{T}_{n}$ contient $I_{n}$, qui est triangulaire supérieure, il est stable par différence d'après la question 1 et par produit d'après la question 2. $$\boxed{\mathcal{T}_{n} \text{ est un sous-anneau de } \mathcal{M}_{n}(K).}$$

4. On effectue le produit : $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 & 7 & 1 \\ 0 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$$ Le produit est bien triangulaire supérieur, et sa diagonale $(2 \,;\, -3 \,;\, -2)$ vaut $(1 \times 2 \,;\, -1 \times 3 \,;\, 2 \times (-1))$ ✓

5. Le critère de l'exercice 13 donne $ad-b \times 0=ad$ : $$\boxed{\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} \text{ est inversible si et seulement si } ad \neq 0, \text{ et alors } \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad}\begin{pmatrix} d & -b \\ 0 & a \end{pmatrix}}$$ L'inverse est encore triangulaire supérieur, ce qui n'a rien d'un hasard : le sous-anneau $\mathcal{T}_{n}$ est stable par passage à l'inverse.