Exercice 21

1. La matrice nulle est symétrique et antisymétrique. Et pour $\lambda \in \mathbb{R}$ et deux matrices $M$, $N$, la proposition 4 donne : $${}^{t}(\lambda M+N)=\lambda\,{}^{t}M+{}^{t}N$$ Si $M$ et $N$ sont symétriques, ce membre vaut $\lambda M+N$ ; si elles sont antisymétriques, il vaut $-(\lambda M+N)$. $$\boxed{\mathcal{S}_{n} \text{ et } \mathcal{A}_{n} \text{ sont des sous-espaces vectoriels de } \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}).}$$

2. Si $M$ est à la fois symétrique et antisymétrique, alors $M={}^{t}M=-M$, donc $2M=0$. $$\boxed{\mathcal{S}_{n} \cap \mathcal{A}_{n}=\{0\}}$$

3. On applique la proposition 4 et la question 3 de l'exercice 19 : $${}^{t}\left(\frac{M+{}^{t}M}{2}\right)=\frac{{}^{t}M+M}{2} \qquad\text{et}\qquad {}^{t}\left(\frac{M-{}^{t}M}{2}\right)=\frac{{}^{t}M-M}{2}=-\frac{M-{}^{t}M}{2}$$ La première est donc symétrique, la seconde antisymétrique, et leur somme vaut $M$.

4. L'intersection est réduite à zéro et la somme vaut $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ tout entier : $$\boxed{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})=\mathcal{S}_{n} \oplus \mathcal{A}_{n}}$$

5. Une matrice symétrique de taille $2$ s'écrit $\begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$, une antisymétrique $\begin{pmatrix} 0 & b \\ -b & 0 \end{pmatrix}$ : $$\boxed{\mathcal{S}_{2}=\mathrm{Vect}\big(E_{1,1} \,;\, E_{2,2} \,;\, E_{1,2}+E_{2,1}\big) \qquad \mathcal{A}_{2}=\mathrm{Vect}\big(E_{1,2}-E_{2,1}\big)}$$

6. On applique la question 3 : $$\boxed{\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & \frac{5}{2} \\ \frac{5}{2} & 4 \end{pmatrix}}_{\text{symétrique}} +\underbrace{\begin{pmatrix} 0 & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}}_{\text{antisymétrique}}}$$

Comparaison avec le chapitre 6. La décomposition est exactement celle des fonctions en partie paire et partie impaire, la transposition jouant le rôle de $f \mapsto \big(x \mapsto f(-x)\big)$. Dans les deux cas, on décompose selon une symétrie au sens du chapitre 7, en séparant les éléments invariants de ceux qui sont changés en leur opposé.