Exercice 20

1. On a $AB=\begin{pmatrix} 7 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$ d'après l'exercice 1, donc ${}^{t}(AB)=\begin{pmatrix} 7 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. Par ailleurs : $${}^{t}A\,{}^{t}B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix} \qquad {}^{t}B\,{}^{t}A=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

2. On calcule le coefficient d'indice $(i\,;j)$ des deux membres : $$\big({}^{t}(AB)\big)_{i,j}=(AB)_{j,i}=\sum_{k} a_{j,k}\,b_{k,i}=\sum_{k} \big({}^{t}B\big)_{i,k}\big({}^{t}A\big)_{k,j}=\big({}^{t}B\,{}^{t}A\big)_{i,j}$$

3. En transposant l'égalité $AA^{-1}=I_{n}$ et en utilisant la question 2, sachant que ${}^{t}I_{n}=I_{n}$ : $${}^{t}\big(A^{-1}\big)\,{}^{t}A=I_{n}$$ et de même dans l'autre ordre à partir de $A^{-1}A=I_{n}$. $$\boxed{{}^{t}A \text{ est inversible, et } \big({}^{t}A\big)^{-1}={}^{t}\big(A^{-1}\big)}$$

4. La comparaison est immédiate : $$\boxed{\text{Les deux opérations renversent l'ordre du produit.}}$$ C'est l'image des chaussettes et des chaussures du chapitre 3 : pour défaire une composition, on défait en dernier ce qui a été fait en premier.