Exercice 19

1. On échange lignes et colonnes : $${}^{t}A=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \qquad {}^{t}B=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \qquad {}^{t}C=C \qquad {}^{t}D=-D$$ On notera que $B$ est de taille $2 \times 3$ et ${}^{t}B$ de taille $3 \times 2$.

2. On confronte chaque matrice à sa transposée : $$\boxed{C \text{ est symétrique ; } D \text{ est antisymétrique ; } A \text{ n'est ni l'une ni l'autre.}}$$ La matrice $B$ n'étant pas carrée, la question ne se pose même pas pour elle.

3. On vérifie sur $A$, et l'on démontre en général en revenant aux coefficients : $$\big({}^{t}({}^{t}A)\big)_{i,j}=\big({}^{t}A\big)_{j,i}=A_{i,j} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{{}^{t}({}^{t}A)=A}$$

4. Si ${}^{t}A=-A$, alors pour tout indice $i$, le coefficient diagonal vérifie $a_{i,i}=-a_{i,i}$, donc $2a_{i,i}=0$. $$\boxed{\text{Les coefficients diagonaux d'une matrice antisymétrique sont nuls.}}$$ C'est visible sur la matrice $D$, dont la diagonale ne comporte que des zéros.