Exercice 25

1. Par définition de $X_{n}$ et de la relation de récurrence : $$AX_{n}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -6 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u_{n} \\ u_{n+1} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} u_{n+1} \\ -6u_{n}+5u_{n+1} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} u_{n+1} \\ u_{n+2} \end{pmatrix}=X_{n+1}$$ Récurrence. L'égalité $X_{0}=A^{0}X_{0}$ est vraie. Si $X_{n}=A^{n}X_{0}$, alors $X_{n+1}=AX_{n}=A^{n+1}X_{0}$. $$\boxed{\forall n \in \mathbb{N}, \quad X_{n}=A^{n}X_{0}}$$

2. On calcule les deux produits : $$AP=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -6 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 9 \end{pmatrix} \qquad\text{et}\qquad PD=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 9 \end{pmatrix}$$

$$\boxed{AP=PD}$$ Les deux colonnes de $P$ sont donc simplement multipliées par $2$ et par $3$ : ce sont les directions que $u$ laisse invariantes, comme à l'exercice 11.

3. Le critère de l'exercice 13 donne $3-2=1 \neq 0$ : $$\boxed{P \text{ est inversible, et } P^{-1}=\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}}$$

4. De $AP=PD$ on tire, en multipliant à droite par $P^{-1}$, que $A=PDP^{-1}$. Par récurrence, les facteurs intermédiaires se télescopent : $$A^{n}=\big(PDP^{-1}\big)^{n}=PD\underbrace{P^{-1}P}_{=I_{2}}D\,P^{-1} \cdots =PD^{n}P^{-1}$$

5. Comme $D$ est diagonale, $D^{n}=\begin{pmatrix} 2^{n} & 0 \\ 0 & 3^{n} \end{pmatrix}$, d'où : $$A^{n}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2^{n} & 0 \\ 0 & 3^{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2^{n} & 3^{n} \\ 2 \times 2^{n} & 3 \times 3^{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$

6. La première coordonnée de $X_{n}=A^{n}X_{0}$ donne : $$\boxed{u_{n}=\big(3 \times 2^{n}-2 \times 3^{n}\big)u_{0}+\big(3^{n}-2^{n}\big)u_{1}}$$ Pour $u_{0}=1$ et $u_{1}=0$ : $$\boxed{u_{n}=3 \times 2^{n}-2 \times 3^{n}}$$ Vérification : $u_{0}=3-2=1$ et $u_{1}=6-6=0$ ✓

C'est exactement la suite trouvée à l'exercice 20 du chapitre 6, obtenue là-bas en cherchant une base de l'espace des solutions. Le calcul matriciel y parvient sans jamais parler de base : il suffit de savoir calculer $A^{n}$, et l'égalité $A=PDP^{-1}$ y pourvoit. C'est le principe de la diagonalisation, dont le cours annonce qu'elle sera l'enjeu de la suite du programme.