Exercice 1

1. Pour chaque assertion, on cherche les valeurs de $P$, $Q$, $R$ qui pourraient la rendre fausse : c'est plus rapide qu'une table complète à huit lignes, puisqu'une implication n'est fausse que dans un seul cas.

(a) Si $P \Rightarrow Q$ est fausse, alors $P$ est vraie et $Q$ est fausse ; mais dans ce cas $Q \Rightarrow P$ est vraie. Les deux membres ne peuvent donc pas être faux simultanément. $$\boxed{(P \Rightarrow Q) \ \mathrm{ou}\ (Q \Rightarrow P) \text{ est toujours vraie.}}$$

(b) Le membre de gauche est faux exactement lorsque $P$ est vraie et $Q \Rightarrow R$ fausse, c'est-à-dire lorsque $P$ et $Q$ sont vraies et $R$ fausse. Le membre de droite est faux exactement lorsque $P \ \mathrm{et}\ Q$ est vraie et $R$ fausse : c'est la même situation. Les deux membres ont donc toujours la même valeur. $$\boxed{\text{L'équivalence (b) est toujours vraie.}}$$

(c) Prenons $P$ et $R$ fausses, et $Q$ quelconque. Alors $P \Rightarrow Q$ est vraie, donc $(P \Rightarrow Q) \Rightarrow R$ est fausse ; tandis que $P \Rightarrow (Q \Rightarrow R)$ est vraie, son hypothèse $P$ étant fausse. $$\boxed{\text{(c) est fausse pour } P \text{ et } R \text{ fausses.}}$$

(d) On distingue deux cas. Si $P$ est vraie, le membre de gauche vaut $Q \ \mathrm{et}\ \mathrm{non}\, Q$, qui est faux, comme $\mathrm{non}\, P$. Si $P$ est fausse, les deux implications sont vraies, et $\mathrm{non}\, P$ aussi. $$\boxed{\text{L'équivalence (d) est toujours vraie.}}$$

(e) Supposons $P \Rightarrow Q$ et $P \ \mathrm{ou}\ R$ vraies. Si $P$ est vraie, alors $Q$ est vraie, donc $Q \ \mathrm{ou}\ R$ aussi ; sinon $R$ est vraie, et $Q \ \mathrm{ou}\ R$ aussi. $$\boxed{\text{(e) est toujours vraie.}}$$

Piège : l'assertion (c) montre que l'implication n'est pas « associative ». Une écriture comme $P \Rightarrow Q \Rightarrow R$ est donc ambiguë et doit toujours être parenthésée.

2. L'assertion (d) affirme que si, en supposant $P$, on aboutit à la fois à $Q$ et à $\mathrm{non}\, Q$, alors $P$ est fausse. $$\boxed{\text{C'est le principe du raisonnement par l'absurde.}}$$

3. Un habitant dit la vérité si et seulement si c'est un chevalier. Les deux déclarations se traduisent donc par : $$a \Leftrightarrow (a \Leftrightarrow b) \qquad\text{et}\qquad b \Leftrightarrow \mathrm{non}\, a$$ Étudions la première. Si $a$ est vraie, elle se réduit à $b$ ; si $a$ est fausse, elle s'écrit « faux $\Leftrightarrow (\text{faux} \Leftrightarrow b)$ », c'est-à-dire « faux $\Leftrightarrow \mathrm{non}\, b$ », ce qui équivaut encore à $b$. Dans tous les cas, la première déclaration impose donc que $b$ soit vraie : $B$ est un chevalier. La seconde donne alors $\mathrm{non}\, a$ vraie. $$\boxed{A \text{ est un fripon et } B \text{ un chevalier.}}$$ Vérification : $A$ ment bien en affirmant qu'ils sont de même nature, et $B$ dit vrai en affirmant que $A$ est un fripon. ✓

À retenir : quelle que soit la nature de $A$, la phrase « $B$ et moi sommes de même nature » prononcée par $A$ révèle toujours que $B$ est un chevalier. C'est le genre de résultat que le calcul logique fait apparaître sans effort, et que l'intuition manque facilement.