Feuille d'exercicesMaths Sup – MPSI, chapitre 1

Logique et ensembles

49 exercices corrigés · 9   22   15   3

Assertions et connecteurs logiques

• Exercice 1 1. Soit P, Q, R trois assertions. Parmi les assertions suivantes, déterminer celles qui sont vraies quelles que soient les valeurs de vérité de P, Q…
• Exercice 2 1. Quatre cartes portent chacune un nombre sur une face et une lettre sur l'autre. Posées sur une table, elles montrent [-0.5ex]0pt2.6ex A…
• Exercice 3 Pour deux assertions P et Q, on note P uparrow Q l'assertion non (P et Q). 1. Exprimer non P, puis P et Q, P ou Q et P ⇒ Q, en n'utilisant que P, Q…

Quantificateurs

• Exercice 4 Dans tout l'exercice, f désigne une fonction de ℝ dans ℝ et (u_n)_(n ∈ ℕ) une suite réelle. 1. Traduire les phrases suivantes par des assertions…
• Exercice 5 Déterminer si chacune des assertions suivantes est vraie ou fausse, en justifiant, puis écrire sa négation. (a) ∀ x ∈ ℝ, ∃ y ∈ ℝ, x = y^2 (b) ∃ y ∈…
• Exercice 6 Un élève a proposé les négations suivantes; f est une fonction de ℝ dans ℝ, (u_n) une suite réelle et ell un réel. Dire lesquelles sont correctes,…
• Exercice 7 Déterminer si chacune des assertions suivantes est vraie ou fausse, en le démontrant. (a) 1 = 0 ⇒ (∃ (p,q,r) ∈ ℤ^3, p^3 + q^3 + r^3 = 114) (b) ∀ x ∈…
• Exercice 8 Soit f une fonction de ℝ dans ℝ. On dit que f est bornée si ∃ M ∈ ℝ, ∀ x ∈ ℝ, |f(x)| ≤ M. 1. Écrire avec des quantificateurs l'assertion « f n'est…
• Exercice 9 Soit f une fonction de ℝ dans ℝ. On considère les trois assertions suivantes, qui ne diffèrent que par l'ordre des quantificateurs: begin aligned…
• Exercice 10 Dans cet exercice, une suite réelle (u_n)_(n ∈ ℕ) est dite croissante si ∀ (n,m) ∈ ℕ^2, n ≤ m ⇒ u_n ≤ u_m, et pseudo-croissante si ∀ n ∈ ℕ, ∃ M ∈ ℕ,…

Modes de raisonnement

• Exercice 11 1. Soit n un entier relatif. Montrer que si n^2 - 1 n'est pas divisible par 8, alors n est pair. 2. Montrer que le réel (ln 2)/(ln 3) est…
• Exercice 12 Chacune des affirmations suivantes est fausse. Le démontrer à l'aide d'un contre-exemple aussi simple que possible. 1. Pour tout réel x, x^2 > x. 2.…
• Exercice 13 Voici des extraits de démonstrations portant sur des notions qui ne seront étudiées que plus tard. Sans chercher à comprendre de quoi il est…
• Exercice 14 La conjecture de Goldbach forte affirme que tout entier pair supérieur ou égal à 4 est la somme de deux nombres premiers. La conjecture de Goldbach…
• Exercice 15 1. Montrer que pour tout entier relatif n, l'entier n(n+1)(2n+1) est divisible par 6. 2. Résoudre dans ℝ l'inéquation |x + 1| - |2x - 3| ≥ 1. 3.…
• Exercice 16 1. Soit (u_n)_(n ∈ ℕ) une suite réelle. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes: (i) ∀ A ∈ ℝ, ∃ n ∈ ℕ, u_n ≥ A (ii) ∀ A ∈ ℝ, ∃ n ∈ ℕ,…
• Exercice 17 Déterminer toutes les fonctions f: ℝ → ℝ vérifiant chacune des conditions suivantes. 1. Pour tous réels x et y: f(x + y) = f(x) + y. 2. Pour tous…
• Exercice 18 1. On cherche toutes les fonctions f: ℝ → ℝ telles que (ast) ∀ (x,y) ∈ ℝ^2, x f(x) + y^2 + f(xy) = f(x + y)^2 - f(x) f(y). (a) Soit f une solution.…
• Exercice 19 1. Pour n ≥ 1, on pose S_n = Σ_(k=1)^n 1/(k^2). On souhaite montrer que S_n ≤ 2 pour tout n ≥ 1. (a) Expliquer pourquoi une récurrence portant…
• Exercice 20 Chacune des deux démonstrations suivantes établit un résultat manifestement faux. Localiser précisément l'erreur. 1. « Montrons que pour tout n ≥ 1,…
• Exercice 21 1. Montrer que pour tout n ∈ ℕ, il existe deux entiers naturels a_n et b_n tels que (3 + 2√2)^n = a_n + b_n√2. On exprimera a_(n+1) et b_(n+1) en…
• Exercice 22 Le jeu des tours de Hanoï se joue avec trois piquets et n disques percés de tailles deux à deux distinctes. Au départ, les n disques sont empilés…
• Exercice 23 On définit la suite de Fibonacci par F_1 = F_2 = 1 et F_(n+2) = F_(n+1) + F_n pour tout n ≥ 1. 1. Calculer F_n pour 1 ≤ n ≤ 10. 2. Montrer que, pour…
• Exercice 24 On considère les deux énoncés suivants. 1. Pour tout entier n ≥ 1, il existe des entiers a_1, …, a_n strictement positifs tels que a_1^2 + … + a_n^2…
• Exercice 25 Sur un circuit fermé sont répartis n ≥ 1 dépôts d'essence, qui contiennent à eux tous exactement la quantité d'essence nécessaire pour faire un tour…
• Exercice 26 Dans un tournoi à n ≥ 2 équipes, chaque équipe rencontre une fois chacune des autres, et chaque match désigne un vainqueur: il n'y a pas de match…
• Exercice 27 On dispose de timbres de deux valeurs, a et b centimes, en quantité illimitée. On dit qu'un entier naturel n est réalisable s'il existe deux entiers…

Ensembles

• Exercice 28 1. Écrire en extension les ensembles suivants, en prenant garde aux éléments qui se répètent: A = x ∈ ℤ mid x^2 ≤ 10 B = p/q | (p,q) ∈ (ℕ^())^2, p ≤…
• Exercice 29 Dans chacun des diagrammes ci-dessous, A, B et C sont trois parties d'un ensemble E. Exprimer la zone coloriée à l'aide des symboles ∩, ∪, setminus…
• Exercice 30 Soit E un ensemble et A, B, C, D des parties de E; on note overline A le complémentaire de A dans E. 1. Simplifier (A ∩ B) ∪ (A ∩ overline B) ∪…
• Exercice 31 1. Montrer que (x,y) ∈ ℝ^2 mid 3x - y = 2 = (t + 1, 3t + 1) mid t ∈ ℝ. 2. Montrer que 7a + 12b mid (a,b) ∈ ℤ^2 = ℤ, puis déterminer l'ensemble 6a +…
• Exercice 32 1. Montrer que bigcup _(x ∈ [0,1]) ]x - 1,x + 1[ = ]-1,2[, puis déterminer bigcap _(x ∈ [0,1]) ]x - 1,x + 1[. 2. Soit (E_n)_(n ∈ ℕ) une famille de…
• Exercice 33 Soit A, B, C trois parties d'un ensemble E. Démontrer ou réfuter chacune des affirmations suivantes; une affirmation fausse sera réfutée par un…
• Exercice 34 Soit E un ensemble. Démontrer les équivalences suivantes. 1. Pour tous x, y de E: x = y ⇔ (∀ A ∈ P(E), x ∈ A ⇒ y ∈ A). 2. Pour toutes parties A, B…
• Exercice 35 1. Soit A une partie non vide de ℤ telle que, pour tout n ∈ ℤ, n ∈ A ⇒ (n - 1 ∈ A et n + 1 ∈ A). Montrer que A = ℤ. 2. Montrer que toute suite…
• Exercice 36 Soit E, F deux ensembles, et A, C deux parties de E, B, D deux parties de F. 1. Comparer P(E ∩ F) et P(E) ∩ P(F), puis P(E ∪ F) et P(E) ∪ P(F). À…
• Exercice 37 1. Soit A, B, C trois ensembles non vides tels que A × B ⊂ B × C. Montrer que A ⊂ C. Le résultat subsiste-t-il si l'on ne suppose plus B non vide ?…
• Exercice 38 1. Pour deux parties A et B de ℝ, on note A oplus B = a + b mid (a,b) ∈ A × B. (a) Déterminer 0,1 oplus 1,4, puis [0,1] oplus [2,5]. (b) Soit A une…
• Exercice 39 Soit E un ensemble et A, B, C trois parties de E. 1. Discuter, selon A, B et C, l'existence d'une partie X de E vérifiant à la fois A ∪ X = B et A ∩…
• Exercice 40 Pour tout k ∈ ℕ, on note A_k = 2^k(2m + 1) mid m ∈ ℕ. 1. Écrire les cinq plus petits éléments de A_0, de A_1 et de A_2. 2. Montrer que la famille…
• Exercice 41 Soit n ≥ 1. On dit que deux parties de [ [1;n] ] sont adjacentes si l'on passe de l'une à l'autre en ajoutant ou en retirant un seul élément. 1.…

Exercices de synthèse

• Exercice 42 Vrai ou faux. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse par une démonstration ou un…
• Exercice 43 1. Soit n ≥ 1 et x_1, …, x_n des réels. Montrer que min (x_1,…,x_n) ≤ (x_1 + … + x_n)/n ≤ max (x_1,…,x_n). 2. Principe des tiroirs. On range m…
• Exercice 44 Soit k ∈ ℕ^(). On dit qu'une partie A de ℕ est k -syndétique si elle contient au moins un élément de toute liste de k entiers naturels consécutifs,…
• Exercice 45 On dit qu'une partie O de ℝ est ouverte si ∀ x ∈ O, ∃ ε > 0, ]x - ε,x + ε[ ⊂ O, et qu'une partie F de ℝ est fermée si son complémentaire ℝ setminus…
• Exercice 46 Soit n ∈ ℕ^(). On appelle décomposition de n toute liste (x_1, …, x_p) d'entiers naturels non nuls, de longueur p ≥ 1, telle que x_1 + … + x_p = n;…
• Exercice 47 Soit r ≥ 2 un entier. Dans un pays imaginaire, les pièces de monnaie valent 1, r, r^2, r^3 … unités. Pour régler une somme, on peut donner des…
• Exercice 48 1. Montrer qu'il n'existe aucune suite (A_n)_(n ∈ ℕ) de parties de ℕ telle que toute partie de ℕ soit égale à l'un des A_n. 2. Montrer qu'en…
• Exercice 49 On partage l'ensemble [ [1;9] ] en deux parties. 1. Montrer que l'une au moins des deux parties contient trois entiers distincts en progression…