Exercice 8

1. On applique la méthode de négation du cours : $$\boxed{f \text{ n'est pas bornée} \iff \forall M \in \mathbb{R},\ \exists x \in \mathbb{R},\ |f(x)| > M}$$ La fonction sinus est bornée : $|\sin x| \leqslant 1$ pour tout réel $x$, donc $M = 1$ convient. La fonction identité ne l'est pas : pour tout réel $M$, le réel $x = |M| + 1$ vérifie $|x| = |M| + 1 > M$.

2. Pour tout réel $x$, le réel $M = |f(x)|$ convient. L'assertion est donc vraie pour toute fonction. $$\boxed{\text{Toutes les fonctions de } \mathbb{R} \text{ dans } \mathbb{R} \text{ vérifient cette assertion.}}$$ C'est le cas typique où l'échange des quantificateurs vide l'assertion de son contenu : $M$ peut maintenant dépendre de $x$, et la valeur $|f(x)|$ elle-même convient.

3. Si $|f(x)| \leqslant M$ pour tout $x$, alors $-M \leqslant f(x) \leqslant M$ : le couple $(a,b) = (-M,M)$ convient. Réciproquement, si $a \leqslant f(x) \leqslant b$ pour tout $x$, posons $M = \max(|a|,|b|)$. Alors $-M \leqslant -|a| \leqslant a \leqslant f(x) \leqslant b \leqslant |b| \leqslant M$, donc $|f(x)| \leqslant M$. $$\boxed{f \text{ bornée} \iff f \text{ est minorée et majorée.}}$$

4. Si $|f| \leqslant M$, alors $-2M \leqslant f(x) - f(y) \leqslant 2M$ pour tous $x$, $y$ : $(a,b) = (-2M,2M)$ convient. Réciproquement, supposons la condition vérifiée, et choisissons $y = 0$ : pour tout $x$, $a + f(0) \leqslant f(x) \leqslant b + f(0)$. La question 3 permet de conclure. $$\boxed{f \text{ bornée} \iff \text{les écarts } f(x) - f(y) \text{ sont bornés.}}$$ À retenir : dans le sens réciproque, il suffisait de fixer la variable $y$ : une assertion universelle peut toujours être spécialisée, et choisir la bonne valeur est souvent toute la démonstration.