Exercice 7

(a) $\boxed{\textbf{Vraie}}$ L'hypothèse $1 = 0$ est fausse, donc l'implication est vraie, quelle que soit la valeur de vérité de la conclusion. Le choix de $114$ n'est pas innocent : on ne sait pas, à ce jour, si $114$ est somme de trois cubes d'entiers relatifs. On a donc démontré une implication dont on ignore si la conclusion est vraie.

(b) $\boxed{\textbf{Fausse}}$ Le réel $x = \frac{5}{2}$ vérifie $x > 2$ mais pas $x \geqslant 3$. L'implication serait vraie pour des entiers : l'erreur est de raisonner sur $\mathbb{R}$ comme sur $\mathbb{Z}$.

(c) $\boxed{\textbf{Fausse}}$ Pour $x = -1$ et $y = 1$, on a $x < y$ mais $\frac{1}{x} = -1 < 1 = \frac{1}{y}$. La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty\,,0[$ et sur $]0\,,+\infty[$, mais pas sur $\mathbb{R}^{*}$, comme l'exercice 12 l'a déjà montré pour d'autres fonctions.

(d) $\boxed{\textbf{Vraie}}$ Pour $x = 4$ : $\sqrt{4} = 2 < 4$. Plus généralement, tout $x > 1$ convient.

(e) $\boxed{\textbf{Fausse}}$ Les réels $\frac{\pi}{2}$ et $-\frac{\pi}{2}$ sont deux solutions distinctes : l'existence est vraie, mais pas l'unicité. La négation de (e) est « aucune solution, ou au moins deux ».

(f) $\boxed{\textbf{Fausse}}$ La fonction $g : x \mapsto x - \mathrm{e}^{-x}$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, comme somme de deux fonctions strictement croissantes ; elle s'annule donc au plus une fois. Comme $g(0) = -1 < 0$ et $g(1) = 1 - \mathrm{e}^{-1} > 0$, le théorème des valeurs intermédiaires (Terminale) donne un unique $\alpha \in \,]0\,,1[$ tel que $\alpha = \mathrm{e}^{-\alpha}$. Mais pour $0 < \alpha < 1$, on a $\alpha^{2} < \alpha$, donc $\alpha \leqslant \alpha^{2}$ est fausse. Numériquement, $\alpha \approx 0{,}567$.

(g) $\boxed{\textbf{Fausse}}$ La négation est $\exists n \in \mathbb{N},\ \forall m \in \mathbb{N},\ nm$ est pair : elle est vraie pour $n = 0$ (ou tout $n$ pair), car $nm$ est alors pair quel que soit $m$.

(h) $\boxed{\textbf{Fausse}}$ Soit $\eta > 0$. Le réel $x = -2$ vérifie $x \leqslant \eta$, mais $x^{2} = 4 > 1$. La condition $x \leqslant \eta$ ne contrôle pas les grands négatifs.

(i) $\boxed{\textbf{Vraie}}$ Avec $\eta = 1$ : si $|x| \leqslant 1$, alors $x^{2} = |x|^{2} \leqslant 1$.

(j) $\boxed{\textbf{Vraie}}$ Avec $\eta = 10^{-9}$ : si $|x| \leqslant 10^{-9}$, alors $x^{2} \leqslant 10^{-18}$.

(k) $\boxed{\textbf{Vraie}}$ Soit $\varepsilon > 0$. Avec $\eta = \sqrt{\varepsilon}$, si $|x| \leqslant \eta$, alors $x^{2} \leqslant \eta^{2} = \varepsilon$.

L'assertion (k) dit que $x^{2}$ est aussi proche de $0$ qu'on le souhaite, pourvu que $x$ soit assez proche de $0$ : c'est la continuité en $0$ de la fonction carré, au sens de l'assertion $(C)$ de l'exercice 9. Les assertions (i) et (j) en sont des cas particuliers, pour $\varepsilon = 1$ et $\varepsilon = 10^{-18}$ ; mais aucune liste finie de tels cas ne suffit à établir (k), qui porte sur tous les $\varepsilon > 0$. D'où la nécessité d'exprimer $\eta$ en fonction de $\varepsilon$.