Exercice 6

(a) Incorrecte. Le quantificateur n'a pas été changé : la négation de « pour tout » est « il existe ». $$\boxed{\exists x \in \mathbb{R},\ f(x) \leqslant 0}$$

(b) Correcte. L'assertion (b) signifie « la suite $(u_{n})$ est majorée », et la négation proposée signifie qu'elle n'est pas majorée : aucun réel $M$ ne majore tous ses termes.

(c) Correcte. Les quantificateurs sont échangés, leurs domaines ($\varepsilon > 0$, $N \in \mathbb{N}$, $n \geqslant N$) conservés, et l'inégalité finale niée. L'assertion de départ exprime que $(u_{n})$ converge vers $\ell$, comme on le verra au chapitre 7.

(d) Incorrecte. La négation d'une implication $A \Rightarrow B$ est $A \ \mathrm{et}\ \mathrm{non}\, B$, et non une autre implication : $$\boxed{\exists x \in \mathbb{R},\ x > 0 \ \mathrm{et}\ f(x) \leqslant 0}$$ La proposition de l'élève est vraie pour toute fonction $f$ : le réel $x = -1$ la vérifie, puisque l'hypothèse $x > 0$ y est fausse. Or pour $f = \exp$, l'assertion (d) est vraie elle aussi. Une assertion et sa négation ne pouvant être vraies simultanément, la proposition ne peut pas être la négation de (d).

(e) Incorrecte. Nier « il existe un unique $x$ », c'est dire qu'il n'en existe aucun, ou qu'il en existe au moins deux : $$\boxed{\big(\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) \neq 0\big) \ \mathrm{ou}\ \big(\exists (x,y) \in \mathbb{R}^{2},\ x \neq y \ \mathrm{et}\ f(x) = f(y) = 0\big)}$$ Pour la fonction nulle, l'assertion (e) et la proposition de l'élève sont toutes deux fausses, ce qui confirme l'erreur.

(f) Incorrecte. Le domaine du premier quantificateur a été modifié : on nie la propriété, pas l'ensemble sur lequel porte la variable. $$\boxed{\exists x > 0,\ \forall n \in \mathbb{N},\ f(x) \leqslant n}$$

À retenir : l'assertion (f) cache une curiosité. Pour un réel $t$, dire qu'il existe $n \in \mathbb{N}$ tel que $t > n$ revient à dire que $t > 0$ (prendre $n = 0$ dans un sens, et utiliser $n \geqslant 0$ dans l'autre). L'assertion (f) signifie donc simplement que $f$ est strictement positive sur $]0\,,+\infty[$, et sa négation qu'elle prend une valeur négative ou nulle en un réel strictement positif. Simplifier une assertion avant de la nier évite bien des erreurs.