Exercice 5

(a) Fausse : pour $x = -1$, aucun réel $y$ ne vérifie $y^{2} = -1$. $$\boxed{\text{Fausse}} \qquad \text{négation : } \boxed{\exists x \in \mathbb{R},\ \forall y \in \mathbb{R},\ x \neq y^{2}}$$

(b) Vraie : $y = 0$ convient, puisque $x^{2} \geqslant 0$ pour tout réel $x$. $$\boxed{\text{Vraie}} \qquad \text{négation : } \boxed{\forall y \in \mathbb{R},\ \exists x \in \mathbb{R},\ y > x^{2}}$$

(c) Vraie : c'est exactement la propriété d'Archimède, admise dans le cours. $$\boxed{\text{Vraie}} \qquad \text{négation : } \boxed{\exists \varepsilon > 0,\ \forall n \in \mathbb{N}^{*},\ \tfrac{1}{n} \geqslant \varepsilon}$$

(d) Fausse : soit $n \in \mathbb{N}^{*}$ ; le réel $\varepsilon = \frac{1}{n}$ ne vérifie pas $\frac{1}{n} < \varepsilon$. $$\boxed{\text{Fausse}} \qquad \text{négation : } \boxed{\forall n \in \mathbb{N}^{*},\ \exists \varepsilon > 0,\ \tfrac{1}{n} \geqslant \varepsilon}$$

(e) Fausse : pour $(a,b) = (2,4)$, tout entier $2u + 4v$ est pair, donc différent de $1$. $$\boxed{\text{Fausse}} \qquad \text{négation : } \boxed{\exists (a,b) \in \mathbb{Z}^{2},\ \forall (u,v) \in \mathbb{Z}^{2},\ au + bv \neq 1}$$

(f) Vraie : le cours a signalé que les intervalles $[n\,,n+1[$, pour $n \in \mathbb{Z}$, forment une partition de $\mathbb{R}$. Tout réel appartient donc à l'un d'eux, qui est unique ; l'entier $n$ correspondant sera appelé la partie entière de $x$ au chapitre 7. $$\boxed{\text{Vraie}} \qquad \text{négation : } \boxed{\exists x \in \mathbb{R},\ \forall n \in \mathbb{Z},\ x < n \ \mathrm{ou}\ x \geqslant n + 1}$$

(g) Vraie : pour $a = 0$, on a $x^{2} + 1 > 0$ pour tout réel $x$. $$\boxed{\text{Vraie}} \qquad \text{négation : } \boxed{\forall a \in \mathbb{R},\ \exists x \in \mathbb{R},\ x^{2} - ax + 1 \leqslant 0}$$

(h) Fausse : pour $a = 0$, aucun réel ne vérifie $x^{2} + 1 < 0$. $$\boxed{\text{Fausse}} \qquad \text{négation : } \boxed{\exists a \in \mathbb{R},\ \forall x \in \mathbb{R},\ x^{2} - ax + 1 \geqslant 0}$$

À retenir : les paires (c)--(d) et (g)--(h) illustrent la proposition 3 du cours. Dans (c), l'entier $n$ peut dépendre de $\varepsilon$ ; dans (d), il devrait convenir pour tous les $\varepsilon$ à la fois, ce qui est impossible. Pour (g), une étude du discriminant $a^{2} - 4$ montre plus précisément que les réels $a$ qui conviennent sont exactement ceux de $]-2\,,2[$. Enfin, le théorème de Bézout de Terminale montre que (e) devient vraie dès que $a$ et $b$ sont premiers entre eux.