Exercice 4

1. On donne pour chaque phrase l'assertion quantifiée, puis sa négation obtenue par la méthode du cours.

(a) Ne pas s'annuler, c'est ne jamais prendre la valeur $0$ : $$\boxed{\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) \neq 0} \qquad\text{négation :}\qquad \boxed{\exists x \in \mathbb{R},\ f(x) = 0}$$

(b) Une fonction constante prend partout la même valeur : $$\boxed{\exists c \in \mathbb{R},\ \forall x \in \mathbb{R},\ f(x) = c} \qquad\text{négation :}\qquad \boxed{\forall c \in \mathbb{R},\ \exists x \in \mathbb{R},\ f(x) \neq c}$$ Une forme équivalente sans constante auxiliaire est $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2},\ f(x) = f(y)$, dont la négation $\exists (x,y) \in \mathbb{R}^{2},\ f(x) \neq f(y)$ est souvent plus commode.

(c) Deux réels distincts ont toujours des images distinctes : $$\boxed{\forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2},\ x \neq y \Rightarrow f(x) \neq f(y)} \qquad\text{négation :}\qquad \boxed{\exists (x,y) \in \mathbb{R}^{2},\ x \neq y \ \mathrm{et}\ f(x) = f(y)}$$ Par contraposition, l'assertion équivaut à $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2},\ f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$ : c'est la notion d'injectivité, qui sera étudiée au chapitre 2.

(d) Il existe un rang à partir duquel deux termes consécutifs sont égaux : $$\boxed{\exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \geqslant N,\ u_{n+1} = u_{n}} \qquad\text{négation :}\qquad \boxed{\forall N \in \mathbb{N},\ \exists n \geqslant N,\ u_{n+1} \neq u_{n}}$$

(e) Une fonction est périodique s'il existe une période strictement positive : $$\boxed{\exists T > 0,\ \forall x \in \mathbb{R},\ f(x + T) = f(x)} \qquad\text{négation :}\qquad \boxed{\forall T > 0,\ \exists x \in \mathbb{R},\ f(x + T) \neq f(x)}$$

(f) Chaque réel positif admet au moins un antécédent : $$\boxed{\forall y \geqslant 0,\ \exists x \in \mathbb{R},\ f(x) = y} \qquad\text{négation :}\qquad \boxed{\exists y \geqslant 0,\ \forall x \in \mathbb{R},\ f(x) \neq y}$$

Piège : dans (e), oublier la condition $T > 0$ rend l'assertion vide de sens, puisque $T = 0$ convient pour toute fonction. Une traduction correcte doit être fausse pour au moins une fonction : c'est un bon test.

2. On traduit, puis on cherche des exemples.

(a) Pour toute valeur prise par $f$, il existe une valeur strictement plus grande : $$\boxed{\text{la fonction } f \text{ n'atteint pas de maximum.}}$$ La fonction $x \mapsto x$ vérifie (a) ; la fonction cosinus ne la vérifie pas, puisqu'elle atteint son maximum $1$ en $0$.

(b) Il existe un réel en lequel $f$ prend sa plus petite valeur : $$\boxed{\text{la fonction } f \text{ atteint un minimum.}}$$ La fonction $x \mapsto x^{2}$ vérifie (b), son minimum valant $0$ ; la fonction exponentielle ne la vérifie pas : elle est minorée par $0$, mais n'atteint jamais cette valeur.

Piège : l'assertion (a) est la négation de « $f$ atteint un maximum », et non de (b). L'exemple de la fonction exponentielle montre aussi qu'une fonction minorée n'atteint pas forcément un minimum, distinction qui sera au cœur du chapitre 7.