Exercice 9

1. Supposons $(L)$ et fixons un réel $\delta_{0} > 0$ qui convient. Soit $\varepsilon > 0$. Le réel $\delta = \delta_{0}$ convient alors dans $(C)$ : pour tout réel $x$ tel que $|x| < \delta_{0}$, l'assertion $(L)$ appliquée à ce $\varepsilon$ donne $|f(x) - f(0)| < \varepsilon$. $$\boxed{(L) \Longrightarrow (C)}$$ C'est un cas particulier de la proposition 3 du cours : « $\exists \delta\ \forall \varepsilon$ » entraîne « $\forall \varepsilon\ \exists \delta$ ».

2. Montrons que $(L)$ équivaut à l'existence d'un intervalle $]-\delta\,,\delta[$ sur lequel $f$ est constante. $$\boxed{(L) \Longleftrightarrow \exists \delta > 0,\ \forall x \in\ ]-\delta\,,\delta[,\ f(x) = f(0)}$$ Si $(L)$ est vraie avec un certain $\delta$, alors pour $|x| < \delta$, le réel $|f(x) - f(0)|$ est inférieur à tout $\varepsilon > 0$, donc il est nul d'après la question 4 de l'exercice 11. Réciproquement, si $f(x) = f(0)$ sur $]-\delta\,,\delta[$, alors $|f(x) - f(0)| = 0 < \varepsilon$ pour tout $\varepsilon > 0$.

La fonction $x \mapsto x$ vérifie $(C)$ : pour $\varepsilon > 0$, le réel $\delta = \varepsilon$ convient. Elle ne vérifie pas $(L)$, puisqu'elle n'est constante sur aucun intervalle $]-\delta\,,\delta[$. $$\boxed{x \mapsto x \text{ vérifie } (C) \text{ mais pas } (L).}$$

3. Montrons que $(M)$ équivaut au fait que $f$ soit bornée sur chaque intervalle $]-\delta\,,\delta[$. $$\boxed{(M) \Longleftrightarrow \forall \delta > 0,\ f \text{ est bornée sur } ]-\delta\,,\delta[}$$ Si $(M)$ est vraie, soit $\delta > 0$ et $\varepsilon$ le réel associé ; pour $|x| < \delta$, on a $|f(x)| \leqslant |f(0)| + |f(x) - f(0)| < |f(0)| + \varepsilon$. Réciproquement, si $|f(x)| \leqslant K$ sur $]-\delta\,,\delta[$, le réel $\varepsilon = K + |f(0)| + 1$ convient, puisque $|f(x) - f(0)| \leqslant K + |f(0)| < \varepsilon$.

La fonction définie par $f(x) = \frac{1}{x}$ pour $x \neq 0$ et $f(0) = 0$ ne vérifie pas $(M)$ : elle n'est bornée sur aucun intervalle $]-\delta\,,\delta[$, puisque $f\big(\frac{1}{n}\big) = n$ et que $\frac{1}{n} < \delta$ pour $n$ assez grand. $$\boxed{x \mapsto \tfrac{1}{x} \text{ (prolongée par } 0 \text{ en } 0) \text{ ne vérifie pas } (M).}$$

4. Aucune des deux assertions n'entraîne l'autre.

• La fonction définie par $g(x) = \frac{1}{x - 1}$ pour $x \neq 1$ et $g(1) = 0$ vérifie $(C)$ : pour $|x| < \frac{1}{2}$, on a $|x - 1| \geqslant \frac{1}{2}$, donc $|g(x) - g(0)| = \frac{|x|}{|x - 1|} \leqslant 2|x|$, et $\delta = \min\big(\frac{1}{2}, \frac{\varepsilon}{2}\big)$ convient. Elle ne vérifie pas $(M)$, n'étant pas bornée sur $]-2\,,2[$ au voisinage de $1$.

• La fonction $h$ qui vaut $1$ sur $]0\,,+\infty[$ et $0$ sur $]-\infty\,,0]$ vérifie $(M)$, puisqu'elle est bornée. Elle ne vérifie pas $(C)$ : pour $\varepsilon = \frac{1}{2}$ et tout $\delta > 0$, le réel $x = \frac{\delta}{2}$ donne $|h(x) - h(0)| = 1 \geqslant \varepsilon$.

À retenir : déplacer un seul quantificateur change complètement le sens d'une définition. Au chapitre 8, la continuité uniforme ne différera de la continuité que par la place d'un quantificateur, exactement comme ici.