Exercice 10

1. Une suite est pseudo-croissante si chacun de ses termes est dépassé, au sens large, par tous les termes à partir d'un certain rang, ce rang pouvant dépendre du terme considéré. Si $(u_{n})$ est croissante et $n \in \mathbb{N}$, le rang $M = n$ convient : $m \geqslant n \Rightarrow u_{m} \geqslant u_{n}$. $$\boxed{\text{Toute suite croissante est pseudo-croissante.}}$$

2. Soit $(u_{n})$ et $(v_{n})$ pseudo-croissantes, et $n \in \mathbb{N}$. On dispose de rangs $M_{1}$ et $M_{2}$ tels que $u_{m} \geqslant u_{n}$ pour $m \geqslant M_{1}$ et $v_{m} \geqslant v_{n}$ pour $m \geqslant M_{2}$. Posons $M = \max(M_{1},M_{2})$ : pour $m \geqslant M$, les deux inégalités sont vraies et s'additionnent. $$\boxed{u_{m} + v_{m} \geqslant u_{n} + v_{n} \text{ pour tout } m \geqslant \max(M_{1},M_{2}).}$$

3. La négation de la définition est $\exists n \in \mathbb{N},\ \forall M \in \mathbb{N},\ \exists m \geqslant M,\ u_{m} < u_{n}$. Prenons $n = 0$, de sorte que $u_{n} = 1$. Pour tout $M$, l'entier impair $m = 2M + 1 \geqslant M$ vérifie $u_{m} = -1 < 1$. $$\boxed{\big((-1)^{n}\big) \text{ n'est pas pseudo-croissante.}}$$

4. Posons $u_{n} = n + (-1)^{n}$. Elle n'est pas croissante : $u_{0} = 1 > 0 = u_{1}$. Elle est pseudo-croissante : pour tout $n$, on a $u_{n} \leqslant n + 1$, et pour $m \geqslant n + 2$, on a $u_{m} \geqslant m - 1 \geqslant n + 1 \geqslant u_{n}$. Le rang $M = n + 2$ convient. $$\boxed{\text{La suite } \big(n + (-1)^{n}\big) \text{ est pseudo-croissante sans être croissante.}}$$

5. (a) Soit $k \in \mathbb{N}$. Il existe $M_{1}$ tel que $u_{n} \geqslant u_{k}$ pour $n \geqslant M_{1}$, et $M_{2}$ tel que $u_{n} \leqslant u_{k}$ pour $n \geqslant M_{2}$. Avec $N = \max(M_{1},M_{2})$, on a $u_{n} = u_{k}$ pour tout $n \geqslant N$.

5. (b) Soit $k$ et $j$ deux entiers. La question (a) fournit $N_{k}$ et $N_{j}$ ; pour $n = \max(N_{k},N_{j})$, on obtient $u_{k} = u_{n} = u_{j}$. $$\boxed{\text{Une suite pseudo-croissante et pseudo-décroissante est constante.}}$$ À retenir : la technique du « $\max$ des rangs », employée trois fois ici, est omniprésente en analyse : deux propriétés vraies à partir d'un certain rang sont simultanément vraies à partir du plus grand des deux rangs. Elle servira constamment au chapitre 7 sur les suites.