Exercice 11

1. On démontre la contraposée : si $n$ est impair, alors $8$ divise $n^{2} - 1$. Écrivons $n = 2k + 1$ avec $k \in \mathbb{Z}$ : $$n^{2} - 1 = 4k^{2} + 4k = 4k(k+1)$$ Des deux entiers consécutifs $k$ et $k + 1$, l'un est pair, donc $k(k+1)$ est pair et $4k(k+1)$ est divisible par $8$. $$\boxed{n \text{ impair} \Rightarrow 8 \mid n^{2} - 1, \text{ ce qui est la contraposée demandée.}}$$

2. Les réels $\ln 2$ et $\ln 3$ sont strictement positifs. Supposons par l'absurde que $\frac{\ln 2}{\ln 3} = \frac{p}{q}$ avec $p$, $q$ entiers naturels non nuls. Alors $q \ln 2 = p \ln 3$, soit $\ln(2^{q}) = \ln(3^{p})$, et donc $2^{q} = 3^{p}$ puisque $\ln$ est strictement croissante. Or $2^{q}$ est pair car $q \geqslant 1$, tandis que $3^{p}$ est impair : contradiction. $$\boxed{\frac{\ln 2}{\ln 3} \text{ est irrationnel.}}$$

Piège : il faut justifier que l'on peut prendre $p$ et $q$ positifs ; c'est le signe du quotient qui le permet.

3. Supposons par l'absurde que $a_{k} < \frac{1}{5}$ pour tout $k$. En additionnant ces cinq inégalités strictes, on obtient $a_{1} + \dots + a_{5} < 1$, ce qui contredit l'hypothèse. $$\boxed{\text{L'un des } a_{k} \text{ est supérieur ou égal à } \tfrac{1}{5}.}$$ C'est une version du principe des tiroirs : une quantité répartie en cinq parts en possède au moins une qui atteint la moyenne.

4. Raisonnons par contraposition : si $x \neq 0$, le réel $\varepsilon = \frac{|x|}{2}$ est strictement positif et vérifie $|x| > \varepsilon$. Ainsi l'hypothèse « $|x| \leqslant \varepsilon$ pour tout $\varepsilon > 0$ » est fausse. $$\boxed{x = 0}$$ Ce résultat est l'outil standard pour démontrer une égalité en analyse : on montre que $|a - b|$ est plus petit que tout réel strictement positif. C'est lui qui sert à la question 2 de l'exercice 9.

5. Supposons par l'absurde que $r + x$ soit un rationnel $s$. Alors $x = s - r$ est une différence de rationnels, donc un rationnel : contradiction. De même, si $r \neq 0$ et si $rx$ est un rationnel $s$, alors $x = \frac{s}{r}$ est rationnel : contradiction. $$\boxed{r + x \text{ est irrationnel, et } rx \text{ aussi lorsque } r \neq 0.}$$ La somme et le produit de deux irrationnels ne sont pas toujours irrationnels. Le réel $\sqrt{2}$ est irrationnel (théorème 1 du cours), donc $-\sqrt{2}$ aussi d'après ce qui précède avec $r = -1$ ; or $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$ et $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$ sont rationnels. $$\boxed{\text{Non dans les deux cas : } \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0 \text{ et } \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2.}$$ Ils peuvent aussi l'être : $\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ est irrationnel. L'hypothèse $r \neq 0$ était indispensable, puisque $0 \times x = 0$.