Exercice 12

1. Pour $x = 0$, l'inégalité $0^{2} > 0$ est fausse. $$\boxed{x = 0}$$

2. Pour $a = 1$ et $b = -1$, on a $|a + b| = 0$ alors que $|a| + |b| = 2$. $$\boxed{(a,b) = (1,-1)}$$

3. L'entier $12$ est divisible par $4$ et par $6$, mais pas par $24$. $$\boxed{12}$$ Le bon énoncé fait intervenir le PPCM : un entier divisible par $4$ et par $6$ est divisible par $\mathrm{ppcm}(4,6) = 12$, et pas davantage. On le verra au chapitre 12.

4. Pour $n = 40$ : $$40^{2} + 40 + 41 = 1\,681 = 41^{2}$$ qui n'est pas premier. $$\boxed{n = 40}$$ Pour $n = 0$, $1$, …, $39$, l'entier $n^{2} + n + 41$ est premier : il faut donc tester $41$ valeurs avant de trouver le premier contre-exemple. On pouvait pourtant le trouver sans calcul, en remarquant que pour $n = 41$ les trois termes $41^{2}$, $41$ et $41$ sont divisibles par $41$.

À retenir : vérifier une affirmation sur quarante cas ne prouve rien. Une affirmation universelle se démontre ; un seul contre-exemple suffit à la réfuter, et le chercher par la réflexion est souvent plus efficace que par le calcul.

5. Soit $f$ la fonction égale à $1$ sur $]-\infty\,,0[$ et à $0$ sur $[0\,,+\infty[$. Elle est constante, donc croissante, sur chacun des deux intervalles, mais $f(-1) = 1 > 0 = f(0)$. $$\boxed{f = 1 \text{ sur } ]-\infty\,,0[ \text{ et } f = 0 \text{ sur } [0\,,+\infty[}$$ Avec $]-\infty\,,0]$, le résultat devient vrai. Soit $x < y$ deux réels. Si $x$ et $y$ sont dans un même intervalle, on conclut directement. Sinon, $x < 0 < y$, et l'on passe par le point commun $0$ : $f(x) \leqslant f(0)$ par croissance sur $]-\infty\,,0]$, puis $f(0) \leqslant f(y)$ par croissance sur $[0\,,+\infty[$. $$\boxed{\text{Oui : le point commun } 0 \text{ sert de relais entre les deux intervalles.}}$$