Exercice 13

Voici des extraits de démonstrations portant sur des notions qui ne seront étudiées que plus tard. Sans chercher à comprendre de quoi il est question, identifier le mode de raisonnement employé dans chacun d'eux, en citant les mots qui le signalent.

1. « Supposons que l'ensemble des nombres premiers congrus à $3$ modulo $4$ soit fini, et notons $p_{1}$, …, $p_{r}$ ses éléments. L'entier $N = 4p_{1} \cdots p_{r} - 1$ possède alors un facteur premier congru à $3$ modulo $4$, qui ne peut être aucun des $p_{i}$. C'est impossible. »

2. « Si la suite $(u_{n})$ ne tend pas vers $0$, les sommes partielles $u_{0} + \dots + u_{n}$ ne forment pas une suite de Cauchy ; la série $\sum u_{n}$ diverge donc. Ainsi, la convergence de la série entraîne que $u_{n} \to 0$. »

3. « Si $p = 2$, le résultat se vérifie directement sur les quatre éléments de $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$. On peut donc supposer $p$ impair, et alors… »

4. « Supposons que $f = g + h$, avec $g$ paire et $h$ impaire. Alors $f(-x) = g(x) - h(x)$, d'où nécessairement $g(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$ et $h(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$. Réciproquement, les fonctions ainsi définies conviennent. »

5. « On raisonne sur la dimension $n$ de l'espace. Pour $n = 1$, toute matrice est diagonale. Supposons le résultat établi pour les espaces de dimension $n - 1$, et soit $u$ un endomorphisme d'un espace de dimension $n$… »

6. « Si $A$ est inversible, alors $\det(A)\det(A^{-1}) = \det(I_{n}) = 1$, donc $\det(A) \neq 0$. Inversement, si $\det(A) \neq 0$, la comatrice fournit un inverse de $A$. »