Exercice 14

1. Supposons la conjecture forte vraie, et soit $n \geqslant 7$ un entier impair. L'entier $n - 3$ est pair et supérieur ou égal à $4$ : d'après la conjecture forte, il s'écrit $n - 3 = p + q$ avec $p$ et $q$ premiers. Alors $n = 3 + p + q$ est somme de trois nombres premiers. $$\boxed{\text{Goldbach forte} \Rightarrow \text{Goldbach faible.}}$$

2. Savoir que la conclusion d'une implication est vraie ne renseigne en rien sur son hypothèse : l'implication « forte $\Rightarrow$ faible » est vraie aussi bien si la conjecture forte est vraie que si elle est fausse. $$\boxed{\text{On ne peut rien en déduire sur la conjecture forte.}}$$ Piège : conclure que la conjecture forte est vraie serait confondre une implication et sa réciproque, comme dans la tâche de Wason de l'exercice 2. La conjecture de Goldbach forte, énoncée en 1742, reste ouverte ; la démonstration de Helfgott de la conjecture faible, annoncée en 2013, est en cours de relecture en vue de sa publication définitive.