Exercice 15

1. Il suffit de montrer que $N = n(n+1)(2n+1)$ est divisible par $2$ et par $3$ : comme $2$ et $3$ sont premiers entre eux, $N$ sera alors divisible par $6$ (lemme de Gauss, vu en mathématiques expertes). Parmi $n$ et $n + 1$, l'un est pair, donc $2 \mid N$. Pour la divisibilité par $3$, on distingue les trois restes possibles de $n$ modulo $3$ :

• si $n \equiv 0 \;[3]$, alors $3 \mid n$ ;

• si $n \equiv 1 \;[3]$, alors $2n + 1 \equiv 3 \equiv 0 \;[3]$ ;

• si $n \equiv 2 \;[3]$, alors $n + 1 \equiv 0 \;[3]$.

$$\boxed{6 \mid n(n+1)(2n+1) \text{ pour tout } n \in \mathbb{Z}}$$ Cette divisibilité n'est pas un hasard : le chapitre 3 établira que $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ est la somme $1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2}$.

2. Les valeurs absolues changent d'expression en $-1$ et en $\frac{3}{2}$, ce qui conduit à trois cas, qui recouvrent $\mathbb{R}$.

• Si $x \leqslant -1$ : l'inéquation s'écrit $-(x+1) - (3 - 2x) \geqslant 1$, soit $x - 4 \geqslant 1$, c'est-à-dire $x \geqslant 5$ ; aucune solution dans ce cas.

• Si $-1 \leqslant x \leqslant \frac{3}{2}$ : elle s'écrit $(x + 1) - (3 - 2x) \geqslant 1$, soit $3x \geqslant 3$ ; solutions $\big[1\,,\frac{3}{2}\big]$.

• Si $x \geqslant \frac{3}{2}$ : elle s'écrit $(x + 1) - (2x - 3) \geqslant 1$, soit $x \leqslant 3$ ; solutions $\big[\frac{3}{2}\,,3\big]$.

$$\boxed{S = [1\,,3]}$$ Vérification aux bornes : $|2| - |{-1}| = 1$ et $|4| - |3| = 1$. ✓

3. Si $x \geqslant y$, alors $|x - y| = x - y$ et $\frac{x + y + (x - y)}{2} = x = \max(x,y)$ ; si $x < y$, alors $|x - y| = y - x$ et l'on obtient $y$. En remplaçant $+|x-y|$ par $-|x-y|$, le même calcul donne le minimum : $$\boxed{\max(x,y) = \frac{x + y + |x - y|}{2}} \qquad \boxed{\min(x,y) = \frac{x + y - |x - y|}{2}}$$ Pour trois réels, on utilise $\max(x,y,z) = \max\big(\max(x,y), z\big)$. En notant $m = \max(x,y)$, on obtient $\frac{m + z + |m - z|}{2}$, puis en remplaçant $m$ : $$\boxed{\max(x,y,z) = \frac{x + y + 2z + |x - y| + \big|x + y - 2z + |x - y|\big|}{4}}$$ Cette formule a été contrôlée numériquement sur de nombreux triplets. Elle n'est pas symétrique en apparence, alors que $\max(x,y,z)$ l'est : il en existe donc d'autres écritures, obtenues en regroupant différemment.