Exercice 29

(a) La zone est dans $A$ et dans $B$, mais pas dans $C$ : $$\boxed{(A \cap B) \setminus C = A \cap B \cap \overline{C}}$$

(b) La zone est formée de tout le disque $A$ et de la lentille commune à $B$ et $C$ : $$\boxed{A \cup (B \cap C)}$$

(c) La zone est formée des éléments qui n'appartiennent à aucune des trois parties ; on utilise les lois de De Morgan : $$\boxed{\overline{A \cup B \cup C} = \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}}$$

(d) La zone est formée des éléments qui appartiennent à exactement une des trois parties. On peut la décrire morceau par morceau, ou comme la réunion privée des zones de recouvrement : $$\boxed{X = (A \cap \overline{B} \cap \overline{C}) \cup (\overline{A} \cap B \cap \overline{C}) \cup (\overline{A} \cap \overline{B} \cap C)}$$

$$\boxed{Y = (A \cup B \cup C) \setminus \big((A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)\big)}$$ Pour démontrer que $X = Y$, on fixe $x \in E$ et l'on note $k \in \{0,1,2,3\}$ le nombre de parties parmi $A$, $B$, $C$ qui contiennent $x$. Chacun des trois morceaux de $X$ contient les éléments qui sont dans une partie désignée et dans aucune autre, donc $x \in X \Leftrightarrow k = 1$. D'autre part, $x \in A \cup B \cup C \Leftrightarrow k \geqslant 1$ et $x \in (A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C) \Leftrightarrow k \geqslant 2$, donc $x \in Y \Leftrightarrow k = 1$. $$\boxed{X = Y}$$

Piège : on serait tenté d'écrire $A \,\Delta\, B \,\Delta\, C$. Mais cet ensemble contient aussi le centre $A \cap B \cap C$ : il est formé des éléments appartenant à un nombre impair de parties, $k = 1$ ou $k = 3$.