Exercice 30

1. On regroupe en factorisant par $A$, puis par $\overline{A}$ : $$(A \cap B) \cup (A \cap \overline{B}) = A \cap (B \cup \overline{B}) = A \cap E = A, \qquad\text{et de même}\qquad (\overline{A} \cap B) \cup (\overline{A} \cap \overline{B}) = \overline{A}.$$

$$\boxed{(A \cap B) \cup (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B) \cup (\overline{A} \cap \overline{B}) = A \cup \overline{A} = E}$$ Pour la seconde, on utilise la distributivité et l'égalité $A \cup \overline{A} = E$ : $A \cup (\overline{A} \cap B) = (A \cup \overline{A}) \cap (A \cup B) = A \cup B$. De même, $(A \cup B) \cup (\overline{A} \cap \overline{B} \cap C) = (A \cup B) \cup \big(\overline{A \cup B} \cap C\big) = A \cup B \cup C$, d'après une loi de De Morgan. $$\boxed{A \cup (\overline{A} \cap B) \cup (\overline{A} \cap \overline{B} \cap C) = A \cup B \cup C}$$ Cette seconde égalité découpe $A \cup B \cup C$ en trois morceaux disjoints : les éléments de $A$, ceux de $B$ qui ne sont pas dans $A$, et ceux de $C$ qui ne sont ni dans $A$ ni dans $B$. Elle servira à dénombrer une réunion, dans le chapitre consacré au dénombrement.

2. Pour $x \in E$, on a les équivalences $$\begin{aligned} x \in (A \setminus B) \cup (A \setminus C) &\iff x \in A \ \mathrm{et}\ (x \notin B \ \mathrm{ou}\ x \notin C) \\ &\iff x \in A \ \mathrm{et}\ \mathrm{non}\,(x \in B \ \mathrm{et}\ x \in C) \iff x \in A \setminus (A \cap B \cap C), \end{aligned}$$ la dernière car, pour $x \in A$, on a $x \in A \cap B \cap C \iff (x \in B \ \mathrm{et}\ x \in C)$. $$\boxed{(A \setminus B) \cup (A \setminus C) = A \setminus (A \cap B \cap C)}$$

3. (a) Le membre de gauche ne change pas si l'on échange $C$ et $D$, car $C \cup D = D \cup C$. Celui de droite devient $(A \cap C) \cup (B \cap D)$, qui n'a aucune raison d'être égal à $(A \cap D) \cup (B \cap C)$. Une égalité vraie resterait vraie après l'échange, et l'on obtiendrait $(A \cap D) \cup (B \cap C) = (A \cap C) \cup (B \cap D)$ pour toutes parties, ce qui est très suspect.

3. (b) Prenons $E = \{1\}$, $A = C = \{1\}$ et $B = D = \varnothing$. Alors $(A \cup B) \cap (C \cup D) = \{1\}$, tandis que $(A \cap D) \cup (B \cap C) = \varnothing$. $$\boxed{\text{L'égalité est fausse pour } A = C = \{1\},\ B = D = \varnothing.}$$

3. (c) Un diagramme de Venn n'est fidèle que s'il représente toutes les intersections possibles. Avec quatre disques disposés en carré, les zones $A \cap C$ et $B \cap D$, entre disques opposés, n'existent pas : le diagramme ne représente que des quadruplets particuliers de parties, ceux pour lesquels $A \cap C = B \cap D = \varnothing$. Le développement par distributivité donne en réalité $$(A \cup B) \cap (C \cup D) = (A \cap C) \cup (A \cap D) \cup (B \cap C) \cup (B \cap D),$$ et l'égalité suggérée n'est vraie que lorsque les termes $A \cap C$ et $B \cap D$ sont contenus dans les deux autres, par exemple quand ils sont vides. $$\boxed{\text{Seule l'inclusion } (A \cap D) \cup (B \cap C) \subset (A \cup B) \cap (C \cup D) \text{ est toujours vraie.}}$$ À retenir : un diagramme de Venn suggère, il ne démontre pas. Avec quatre ensembles, aucun diagramme formé de disques ne peut représenter les seize zones possibles ; il faut recourir à des formes plus compliquées.