Exercice 28

1. On résout chaque condition. $$\boxed{A = \{-3\,,-2\,,-1\,,0\,,1\,,2\,,3\}}$$ car $3^{2} = 9 \leqslant 10 < 16 = 4^{2}$. Pour $B$, les six couples $(p,q)$ autorisés donnent les quotients $\frac{1}{1}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{3}$, dont trois sont égaux à $1$ : $$\boxed{B = \left\{\tfrac{1}{3}\,,\tfrac{1}{2}\,,\tfrac{2}{3}\,,1\right\} \text{ possède } 4 \text{ éléments, et non } 6.}$$ Enfin $x^{3} = x \Leftrightarrow x(x-1)(x+1) = 0$ : $$\boxed{C = \{-1\,,0\,,1\}}$$

2. On applique la définition à chaque étape : $$\boxed{\mathcal{P}(\varnothing) = \{\varnothing\}} \qquad \boxed{\mathcal{P}\big(\mathcal{P}(\varnothing)\big) = \big\{\varnothing,\ \{\varnothing\}\big\}}$$

$$\boxed{\mathcal{P}\Big(\mathcal{P}\big(\mathcal{P}(\varnothing)\big)\Big) = \Big\{\varnothing,\ \{\varnothing\},\ \big\{\{\varnothing\}\big\},\ \big\{\varnothing, \{\varnothing\}\big\}\Big\}}$$ Ces ensembles ont $1$, $2$ et $4$ éléments, conformément à la proposition 6 du cours ($2^{0}$, $2^{1}$, $2^{2}$). L'étape suivante en aurait $2^{4} = 16$.

Piège : $\mathcal{P}(\varnothing)$ n'est pas vide, puisque l'ensemble vide est une partie de lui-même. Les ensembles $\varnothing$, $\{\varnothing\}$, $\big\{\varnothing,\{\varnothing\}\big\}$ servent d'ailleurs, en théorie des ensembles, à définir les entiers $0$, $1$, $2$.

3. On examine chaque assertion.

4. On lit les résultats sur la droite réelle, en prenant garde aux bornes : $$\boxed{A \cup B = [-1\,,5]} \qquad \boxed{A \cap B = \,]2\,,3]} \qquad \boxed{A \setminus B = [-1\,,2]} \qquad \boxed{B \setminus A = \,]3\,,5]}$$

$$\boxed{(A \cup B) \cap \mathbb{N} = \{0\,,1\,,2\,,3\,,4\,,5\}}$$ Piège : $A \setminus B$ est fermé en $2$, car $2$ appartient à $A$ mais pas à $B = \,]2\,,5]$.