Exercice 37

1. Montrons même que $A \subset B \subset C$. Soit $a \in A$ et $b \in B$, qui existent puisque $A$ et $B$ sont non vides. Le couple $(a,b)$ appartient à $A \times B$, donc à $B \times C$ : ainsi $a \in B$ et $b \in C$. Le premier point, valable pour tout $a \in A$, donne $A \subset B$ ; le second, valable pour tout $b \in B$, donne $B \subset C$. $$\boxed{A \subset B \subset C, \text{ et en particulier } A \subset C.}$$ Sans l'hypothèse $B \neq \varnothing$, le résultat tombe : pour $A = \{1\}$ et $B = C = \varnothing$, on a $A \times B = \varnothing \subset B \times C$, mais $A \not\subset C$. L'hypothèse $A \neq \varnothing$ est en revanche inutile : si $A$ est vide, l'inclusion $A \subset C$ est vraie. L'hypothèse $C \neq \varnothing$ l'est aussi, car elle découle des deux autres.

2. Raisonnons par l'absurde, en supposant $E \not\subset F$ et $F \not\subset E$. Il existe alors $x \in E \setminus F$ et $y \in F \setminus E$. Le couple $(x,y)$ appartient à $E \times F$, donc à $(F \times \Omega) \cup (\Omega \times E)$ : ainsi $x \in F$ ou $y \in E$, ce qui contredit le choix de $x$ et $y$. $$\boxed{E \subset F \ \mathrm{ou}\ F \subset E}$$ La négation de « $E \subset F$ ou $F \subset E$ » est « $E \not\subset F$ et $F \not\subset E$ », qui fournit deux éléments témoins : c'est la bonne façon d'aborder une conclusion disjonctive.