Exercice 36

1. Pour toute partie $X$ : $X \subset E \cap F \Leftrightarrow (X \subset E \ \mathrm{et}\ X \subset F)$. $$\boxed{\mathcal{P}(E \cap F) = \mathcal{P}(E) \cap \mathcal{P}(F)}$$ Pour la réunion, une partie de $E$ ou de $F$ est une partie de $E \cup F$, d'où : $$\boxed{\mathcal{P}(E) \cup \mathcal{P}(F) \subset \mathcal{P}(E \cup F)}$$ Montrons que l'égalité a lieu si et seulement si $E \subset F$ ou $F \subset E$. Si $E \subset F$, alors $E \cup F = F$ et $\mathcal{P}(E) \subset \mathcal{P}(F)$, donc les deux membres valent $\mathcal{P}(F)$ ; de même si $F \subset E$. Réciproquement, raisonnons par contraposition : si ni $E \subset F$ ni $F \subset E$, il existe $a \in E \setminus F$ et $b \in F \setminus E$. La partie $\{a,b\}$ est incluse dans $E \cup F$, mais ni dans $E$ (car $b \notin E$), ni dans $F$ (car $a \notin F$). $$\boxed{\mathcal{P}(E \cup F) = \mathcal{P}(E) \cup \mathcal{P}(F) \Longleftrightarrow (E \subset F \ \mathrm{ou}\ F \subset E)}$$

2. Pour tout couple $(x,y) \in E \times F$ : $$(x,y) \in (A \times B) \cap (C \times D) \Leftrightarrow (x \in A \ \mathrm{et}\ y \in B) \ \mathrm{et}\ (x \in C \ \mathrm{et}\ y \in D) \Leftrightarrow (x \in A \cap C) \ \mathrm{et}\ (y \in B \cap D)$$

3. Si $(x,y) \in A \times B$, alors $x \in A \cup C$ et $y \in B \cup D$ ; de même pour $C \times D$. D'où l'inclusion : $$\boxed{(A \times B) \cup (C \times D) \subset (A \cup C) \times (B \cup D)}$$ La figure montre qu'elle est stricte en général : la réunion des deux carrés ne remplit pas le carré $[0\,,3]^{2}$. Le point $\big(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\big)$, par exemple, appartient à $[0\,,3]^{2}$, mais ni à $A \times B$ (car $\frac{5}{2} > 2$) ni à $C \times D$ (car $\frac{1}{2} < 1$).

Les deux petits carrés teintés de bleu pétrole sont les éléments de $(A \cup C) \times (B \cup D)$ qui manquent à la réunion des deux produits.

4. Supposons que le disque $\mathcal{D}$ s'écrive $X \times Y$. Comme $(1,0) \in \mathcal{D}$, on a $1 \in X$ ; comme $(0,1) \in \mathcal{D}$, on a $1 \in Y$. Donc $(1,1) \in X \times Y = \mathcal{D}$, ce qui est faux puisque $1^{2} + 1^{2} = 2 > 1$. $$\boxed{\text{Le disque n'est pas un produit cartésien de deux parties de } \mathbb{R}.}$$ À retenir : un produit $X \times Y$ a une propriété de « rectangle » : s'il contient $(x,y)$ et $(x',y')$, il contient aussi $(x,y')$. C'est cette propriété, mise en défaut, qui fournit la contradiction.