Exercice 35

1. Soit $a \in A$. Montrons par récurrence sur $k \in \mathbb{N}$ que $a + k$ et $a - k$ appartiennent à $A$. C'est vrai pour $k = 0$. Si $a + k \in A$, l'hypothèse appliquée à $n = a + k$ donne $a + k + 1 \in A$ ; de même, si $a - k \in A$, elle donne $a - k - 1 \in A$. Tout entier relatif $m$ s'écrit $a + k$ ou $a - k$, avec $k = |m - a| \in \mathbb{N}$. $$\boxed{A = \mathbb{Z}}$$ L'hypothèse « non vide » est indispensable : la partie vide vérifie trivialement la condition de stabilité.

2. Soit $(u_{n})$ une suite décroissante d'entiers naturels. L'ensemble $\{u_{n} \mid n \in \mathbb{N}\}$ de ses valeurs est une partie non vide de $\mathbb{N}$ ; il possède un plus petit élément, de la forme $u_{n_{0}}$. Pour $n \geqslant n_{0}$, on a $u_{n} \leqslant u_{n_{0}}$ par décroissance, et $u_{n} \geqslant u_{n_{0}}$ par minimalité. $$\boxed{u_{n} = u_{n_{0}} \text{ pour tout } n \geqslant n_{0} : \text{ la suite est stationnaire.}}$$ Le résultat est faux pour des réels positifs : la suite $\left(\frac{1}{n+1}\right)$ est strictement décroissante. C'est bien la propriété du plus petit élément, propre à $\mathbb{N}$, qui intervient.

3. Une suite strictement décroissante d'entiers naturels serait décroissante, donc stationnaire, ce qui contredit la stricte décroissance.

Supposons $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$, avec $p$, $q$ entiers naturels non nuls. Comme $1 < \sqrt{2} < 2$, on a $q < p < 2q$. Posons $p' = 2q - p$ et $q' = p - q$ : ce sont des entiers naturels non nuls, et $q' < q$. De plus, en utilisant $p^{2} = 2q^{2}$, $$p'^{2} - 2q'^{2} = 4q^{2} - 4pq + p^{2} - 2p^{2} + 4pq - 2q^{2} = 2q^{2} - p^{2} = 0,$$ donc $\sqrt{2} = \frac{p'}{q'}$. En itérant, on construit une suite strictement décroissante de dénominateurs entiers naturels non nuls : c'est impossible. $$\boxed{\sqrt{2} \text{ est irrationnel.}}$$ Cette preuve, différente de celle du cours, n'utilise aucune considération de parité.