Exercice 34

1. Si $x = y$, l'implication $x \in A \Rightarrow y \in A$ est vraie pour toute partie $A$. Réciproquement, appliquons l'hypothèse à la partie $A = \{x\}$ : comme $x \in \{x\}$, on obtient $y \in \{x\}$, c'est-à-dire $y = x$. $$\boxed{x = y \iff \big(\forall A \in \mathcal{P}(E),\ x \in A \Rightarrow y \in A\big)}$$ Deux éléments sont égaux dès qu'ils ne peuvent être séparés par aucune partie, et le singleton $\{x\}$ est la partie qui réalise le test.

2. Si $A \subset B$, alors pour tout $X$, un élément de $A \cap X$ est dans $A$, donc dans $B$, et dans $X$ : il est dans $B \cap X$. Réciproquement, l'hypothèse appliquée à $X = E$ donne $A \cap E \subset B \cap E$, c'est-à-dire $A \subset B$. $$\boxed{A \subset B \iff \big(\forall X \in \mathcal{P}(E),\ A \cap X \subset B \cap X\big)}$$

3. (a) Si $A \neq E$, il existe $x \in E \setminus A$, et $X = \{x\}$ est une partie non vide disjointe de $A$. Réciproquement, si $A = E$, toute partie non vide $X$ vérifie $A \cap X = X \neq \varnothing$. $$\boxed{\text{(a)} \iff A \neq E}$$

3. (b) Si $A \subset B$ et $X \cap A \neq \varnothing$, un élément de $X \cap A$ est dans $X \cap B$. Réciproquement, supposons (b) et soit $x \in A$. Pour $X = \{x\}$, on a $X \cap A \neq \varnothing$, donc $X \cap B \neq \varnothing$, c'est-à-dire $x \in B$. $$\boxed{\text{(b)} \iff A \subset B}$$

4. Dans les deux cas, le sens direct est immédiat ; montrons les sens réciproques par contraposée. Supposons $A \neq B$ ; quitte à échanger $A$ et $B$, il existe $a \in A \setminus B$.

• Pour $n = a + 1 \neq a$, l'élément $a$ appartient à $A \cup \{n\}$ mais pas à $B \cup \{n\}$.

• Pour $n = a$, l'élément $a$ appartient à $A \cap [\![0\,;a]\!]$ mais pas à $B \cap [\![0\,;a]\!]$.

$$\boxed{\text{Les deux équivalences sont vraies.}}$$ Avec des réunions, l'équivalence devient fausse : pour $A = \{0\}$ et $B = \varnothing$, on a $A \cup [\![0\,;n]\!] = [\![0\,;n]\!] = B \cup [\![0\,;n]\!]$ pour tout $n$, puisque $0 \in [\![0\,;n]\!]$, alors que $A \neq B$. $$\boxed{\text{Avec des réunions, l'équivalence est fausse.}}$$ À retenir : pour montrer qu'une famille de « tests » caractérise une partie, on prend un élément qui distingue les deux parties et l'on choisit le test qui le révèle. La réunion avec $[\![0\,;n]\!]$ efface au contraire l'information contenue dans les petits entiers.