Exercice 33

1. Vraie. On a $A \subset A \cup B = A \cap B \subset B$, et de même $B \subset A \cup B = A \cap B \subset A$. $$\boxed{A = B}$$

2. Vraie. On a $B \subset A \cup B \subset A \cap C \subset A$, et $A \subset A \cup B \subset A \cap C \subset C$. $$\boxed{B \subset A \subset C}$$

3. Vraie. Soit $x \in B$ ; on distingue deux cas. Si $x \in A$, alors $x \in A \cap B \subset A \cap C$, donc $x \in C$. Si $x \notin A$, alors $x \in A \cup B \subset A \cup C$ et $x \notin A$, donc $x \in C$. $$\boxed{B \subset C}$$ Aucune des deux hypothèses ne suffit seule. Prenons $E = \{1\}$. Avec $A = C = \varnothing$ et $B = \{1\}$, on a $A \cap B = \varnothing \subset A \cap C$ mais $B \not\subset C$. Avec $A = B = \{1\}$ et $C = \varnothing$, on a $A \cup B = \{1\} \subset A \cup C$ mais $B \not\subset C$. $$\boxed{\text{Les deux hypothèses sont nécessaires.}}$$

4. Fausse. Prenons $E = \{1,2\}$, $A = \{1\}$, $B = \{2\}$ et $C = \{1,2\}$ : on a $C \subset A \cup B$, mais $C$ n'est inclus ni dans $A$ ni dans $B$. $$\boxed{\text{Contre-exemple : } A = \{1\},\ B = \{2\},\ C = \{1,2\}}$$ Piège : l'erreur consiste à « distribuer » le quantificateur universel sur le « ou ». Chaque élément de $C$ est dans $A$ ou dans $B$, mais pas forcément tous dans la même partie.

5. Vraie. Pour tout $x \in E$, d'après une loi de De Morgan : $$x \in A \setminus (B \cup C) \Leftrightarrow x \in A \ \mathrm{et}\ x \notin B \ \mathrm{et}\ x \notin C \Leftrightarrow (x \in A \ \mathrm{et}\ x \notin B) \ \mathrm{et}\ (x \in A \ \mathrm{et}\ x \notin C)$$

6. Fausse. Pour $A = B = C = \{1\}$, le membre de gauche vaut $\{1\} \setminus \varnothing = \{1\}$, celui de droite $\varnothing \setminus \{1\} = \varnothing$. $$\boxed{\text{Contre-exemple : } A = B = C = \{1\}}$$ La formule correcte est $A \setminus (B \setminus C) = (A \setminus B) \cup (A \cap C)$ : en retirant moins d'éléments, on en conserve davantage.

7. Vraie. On sait déjà que $A \subset C$. Soit $x \in C$. Alors $x \in C \cup D = A \cup B$. Si l'on avait $x \in B$, on aurait $x \in D$ puisque $B \subset D$, donc $x \in C \cap D = \varnothing$ : c'est impossible. Donc $x \in A$, et $C \subset A$. On montre de même que $D \subset B$. $$\boxed{A = C \text{ et } B = D}$$

Condition nécessaire et suffisante. Montrons que l'égalité est vraie pour toute partie $B$ si et seulement si $A \subset C$. $$\boxed{\forall B \in \mathcal{P}(E),\ (A \cup B) \cap C = A \cup (B \cap C) \quad\Longleftrightarrow\quad A \subset C}$$ Si l'égalité est vraie pour tout $B$, elle l'est pour $B = \varnothing$, ce qui donne $A \cap C = A$, c'est-à-dire $A \subset C$. Réciproquement, si $A \subset C$, la distributivité donne $(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C) = A \cup (B \cap C)$.

À retenir : pour obtenir une condition nécessaire à partir d'un énoncé valable « pour tout $B$ », on choisit une valeur particulière de $B$ qui le simplifie : c'est l'étape d'analyse d'une analyse-synthèse.