Exercice 32

1. Réunion. Si $y \in \,]x - 1\,,x + 1[$ avec $x \in [0\,,1]$, alors $-1 \leqslant x - 1 < y < x + 1 \leqslant 2$, donc $y \in \,]-1\,,2[$. Réciproquement, soit $y \in \,]-1\,,2[$. Si $y < 1$, alors $y \in \,]-1\,,1[$, qui correspond à $x = 0$ ; si $y \geqslant 1$, alors $y \in \,]0\,,2[$, qui correspond à $x = 1$.

Intersection. Un réel $y$ appartient à tous les intervalles si et seulement si $x - 1 < y < x + 1$ pour tout $x \in [0\,,1]$, c'est-à-dire si $y > x - 1$ pour tout $x \in [0,1]$, soit $y > 0$ (la condition pour $x = 1$ est la plus forte), et $y < x + 1$ pour tout $x \in [0,1]$, soit $y < 1$ (condition pour $x = 0$). $$\boxed{\bigcup_{x \in [0,1]} \,]x - 1\,,x + 1[\ = \ ]-1\,,2[ \qquad \bigcap_{x \in [0,1]} \,]x - 1\,,x + 1[\ = \ ]0\,,1[}$$

2. (a) En revenant à la définition de la réunion et de l'intersection d'une famille : $$x \in \liminf E_{n} \iff \exists n \in \mathbb{N},\ \forall k \geqslant n,\ x \in E_{k} \qquad x \in \limsup E_{n} \iff \forall n \in \mathbb{N},\ \exists k \geqslant n,\ x \in E_{k}.$$ Autrement dit, $x$ appartient à $\liminf E_{n}$ s'il appartient à tous les $E_{k}$ à partir d'un certain rang, et à $\limsup E_{n}$ s'il appartient à une infinité de $E_{k}$ : pour tout rang $n$, on trouve un $E_{k}$ plus loin qui le contient. Si $x$ appartient à tous les $E_{k}$ pour $k \geqslant n_{0}$, alors pour tout $n$, l'indice $k = \max(n,n_{0})$ vérifie $k \geqslant n$ et $x \in E_{k}$. $$\boxed{\liminf E_{n} \subset \limsup E_{n}}$$ C'est l'implication « $\exists \forall \Rightarrow \forall \exists$ » du cours, appliquée aux rangs.

2. (b) Pour $E_{n} = [n\,,+\infty[$ : aucun réel $x$ n'appartient à une infinité de $E_{k}$, puisque $x \notin E_{k}$ dès que $k > x$. Donc $\limsup E_{n} = \varnothing$, et $\liminf E_{n} = \varnothing$ par la question (a).

Pour $E_{n} = [(-1)^{n} n\,,+\infty[$ : on a $E_{n} = [n\,,+\infty[$ pour $n$ pair et $E_{n} = [-n\,,+\infty[$ pour $n$ impair. Un réel $x$ appartient à tous les $E_{k}$ impairs tels que $k \geqslant -x$, donc à une infinité d'entre eux ; mais il n'appartient pas aux $E_{k}$ pairs tels que $k > x$, donc pas à tous les $E_{k}$ à partir d'un certain rang. $$\boxed{E_{n} = [n\,,+\infty[ : \ \liminf = \limsup = \varnothing \qquad E_{n} = [(-1)^{n} n\,,+\infty[ : \ \liminf = \varnothing,\ \limsup = \mathbb{R}}$$

2. (c) Un réel appartient à tous les $E_{k}$ à partir d'un certain rang si et seulement s'il appartient à $A$ et à $B$ ; il appartient à une infinité de $E_{k}$ si et seulement s'il appartient à $A$ ou à $B$, car chacun des deux ensembles revient une infinité de fois. $$\boxed{\liminf E_{n} = A \cap B \qquad \limsup E_{n} = A \cup B}$$ Ainsi l'inclusion de la question (a) peut être stricte. Ces notions reviendront en probabilités, où $\limsup E_{n}$ est l'événement « une infinité des événements $E_{n}$ se réalisent ».