Exercice 38

1. (a) On calcule les quatre sommes $0 + 1$, $0 + 4$, $1 + 1$, $1 + 4$. Pour les intervalles, une somme $a + b$ avec $a \in [0,1]$ et $b \in [2,5]$ est dans $[2\,,6]$ ; réciproquement, si $t \in [2\,,5]$, alors $t = 0 + t$, et si $t \in [5\,,6]$, alors $t = (t - 5) + 5$. $$\boxed{\{0\,,1\} \oplus \{1\,,4\} = \{1\,,2\,,4\,,5\} \qquad [0\,,1] \oplus [2\,,5] = [2\,,6]}$$

1. (b) L'inclusion $A \oplus \mathbb{R} \subset \mathbb{R}$ est évidente. Soit $t \in \mathbb{R}$ et $a \in A$, qui existe car $A$ est non vide : $t = a + (t - a)$, avec $t - a \in \mathbb{R}$. $$\boxed{A \oplus \mathbb{R} = \mathbb{R}}$$

1. (c) Si $t = a + b$ avec $a \in A_{1} \cap A_{2}$ et $b \in B$, alors $t \in A_{1} \oplus B$ et $t \in A_{2} \oplus B$. L'égalité est fausse en général : pour $A_{1} = \{0\}$, $A_{2} = \{1\}$ et $B = \{0\,,1\}$, on a $(A_{1} \cap A_{2}) \oplus B = \varnothing \oplus B = \varnothing$, tandis que $1 = 0 + 1 = 1 + 0$ appartient à $(A_{1} \oplus B) \cap (A_{2} \oplus B) = \{0\,,1\} \cap \{1\,,2\} = \{1\}$. $$\boxed{\text{Inclusion toujours vraie, égalité fausse en général.}}$$ Le même réel peut s'écrire $a_{1} + b_{1}$ et $a_{2} + b_{2}$ avec $a_{1} \neq a_{2}$ : c'est ce qui fait échouer l'inclusion réciproque.

2. (a) La partie $H$ est la région du plan comprise entre les deux branches de l'hyperbole d'équation $y = \frac{1}{x}$, branches comprises.

La partie $H$ est colorée ; sous la figure, sa projection sur l'axe des abscisses, puis l'ensemble des abscisses dont toute la droite verticale est contenue dans $H$.

Pour tout réel $x$, le couple $(x,0)$ appartient à $H$, donc $\widehat{H} = \mathbb{R}$. Si $x \neq 0$, le couple $\left(x,\frac{2}{x}\right)$ n'appartient pas à $H$, car $x \times \frac{2}{x} = 2 > 1$ ; en revanche, $(0,y) \in H$ pour tout $y$. $$\boxed{\widehat{H} = \mathbb{R} \qquad \check{H} = \{0\}}$$ L'ensemble $\widehat{P}$ est la projection de $P$ sur l'axe des abscisses : l'ensemble des $x$ dont la droite verticale rencontre $P$. L'ensemble $\check{P}$ est l'ensemble des $x$ dont la droite verticale est entièrement contenue dans $P$.

2. (b) Pour $x \in \mathbb{R}$ : $$\begin{aligned} x \in \widehat{P \cup Q} &\iff \exists y \in \mathbb{R},\ \big((x,y) \in P \ \mathrm{ou}\ (x,y) \in Q\big) \\ &\iff \big(\exists y \in \mathbb{R},\ (x,y) \in P\big) \ \mathrm{ou}\ \big(\exists y \in \mathbb{R},\ (x,y) \in Q\big) \iff x \in \widehat{P} \cup \widehat{Q}, \end{aligned}$$ car « il existe » se distribue sur « ou ». En revanche, de $\exists y,\ \big((x,y) \in P \ \mathrm{et}\ (x,y) \in Q\big)$ on déduit seulement que $x \in \widehat{P}$ et $x \in \widehat{Q}$, les deux témoins pouvant être différents. Pour $P = \{(0,0)\}$ et $Q = \{(0,1)\}$, on a $P \cap Q = \varnothing$, donc $\widehat{P \cap Q} = \varnothing$, alors que $\widehat{P} \cap \widehat{Q} = \{0\}$. $$\boxed{\widehat{P \cup Q} = \widehat{P} \cup \widehat{Q} \qquad \widehat{P \cap Q} \subset \widehat{P} \cap \widehat{Q}, \text{ inclusion stricte en général}}$$

2. (c) Les rôles s'échangent, car « pour tout » se distribue sur « et » mais pas sur « ou » : en notant $R = P \cap Q$ et $S = P \cup Q$, $$\boxed{\check{R} = \check{P} \cap \check{Q} \qquad \check{P} \cup \check{Q} \subset \check{S}}$$ La première égalité découle de $\forall y,\ (\alpha(y) \ \mathrm{et}\ \beta(y)) \iff (\forall y,\ \alpha(y)) \ \mathrm{et}\ (\forall y,\ \beta(y))$. Pour la seconde, si la droite verticale d'abscisse $x$ est contenue dans $P$, elle l'est dans $P \cup Q$. L'inclusion est stricte en général : pour $P = \{(x,y) \mid y \geqslant 0\}$ et $Q = \{(x,y) \mid y < 0\}$, on a $\check{P} = \check{Q} = \varnothing$, alors que $S = P \cup Q = \mathbb{R}^{2}$ et $\check{S} = \mathbb{R}$.

À retenir : les opérations $P \mapsto \widehat{P}$ et $P \mapsto \check{P}$ sont la traduction ensembliste des quantificateurs $\exists y$ et $\forall y$. Leurs propriétés vis-à-vis de $\cup$ et $\cap$ sont exactement les règles de distributivité des quantificateurs du cours, ce qui explique la parenté entre cet exercice et la partie de Minkowski : un « il existe » est caché dans la définition de $A \oplus B$.