Exercice 39

1. Analyse. Soit $X$ une solution. Alors $A \subset A \cup X = B$ et $C = A \cap X \subset A$ : il est nécessaire que $C \subset A \subset B$. De plus, $X$ est la réunion de sa partie hors de $A$ et de sa partie dans $A$ ; or $X \setminus A = (A \cup X) \setminus A = B \setminus A$ et $X \cap A = C$. Donc nécessairement $X = (B \setminus A) \cup C$.

Synthèse. Supposons $C \subset A \subset B$ et posons $X = (B \setminus A) \cup C$. Comme $A \subset B$, on a $A \cup (B \setminus A) = B$, et comme $C \subset B$, on obtient $A \cup X = B$. D'autre part, $A \cap X = \big(A \cap (B \setminus A)\big) \cup (A \cap C) = \varnothing \cup C = C$. $$\boxed{\text{Il existe une solution si et seulement si } C \subset A \subset B \text{ ; elle est alors unique : } X = (B \setminus A) \cup C.}$$

2. D'après la question 1, une partie $X$ vérifie $A \cup X = B$ si et seulement si $A \subset B$ et $X = (B \setminus A) \cup Y$, où $Y = A \cap X$ est une partie de $A$. Réciproquement, toute partie $Y$ de $A$ fournit une solution, et deux parties $Y$ différentes fournissent deux solutions différentes, puisque l'on retrouve $Y$ comme $A \cap X$. $$\boxed{\text{Si } A \subset B \text{, les solutions sont les } X = (B \setminus A) \cup Y,\ Y \subset A \text{ ; sinon il n'y en a aucune.}}$$ Il y a donc autant de solutions que de parties de $A$, soit, d'après la proposition 6 du cours : $$\boxed{2^{k} \text{ solutions lorsque } A \subset B.}$$

3. On raisonne élément par élément. Pour $x \in E$, l'appartenance à $A \,\Delta\, X$ est le « ou exclusif » des appartenances à $A$ et à $X$. Si $x \in A$, alors $x \in A \,\Delta\, X \Leftrightarrow x \notin X$ ; si $x \notin A$, alors $x \in A \,\Delta\, X \Leftrightarrow x \in X$. L'égalité $A \,\Delta\, X = B$ impose donc, pour chaque $x$ : si $x \in A$, alors $x \in X \Leftrightarrow x \notin B$ ; si $x \notin A$, alors $x \in X \Leftrightarrow x \in B$. Autrement dit, $x \in X$ exactement lorsque $x$ appartient à une seule des parties $A$ et $B$ : nécessairement $X = A \,\Delta\, B$. Réciproquement, les mêmes équivalences montrent que $X = A \,\Delta\, B$ convient. $$\boxed{X = A \,\Delta\, B \text{ est l'unique solution.}}$$ La situation rappelle l'équation $a + x = b$, d'unique solution $x = b - a$ : on verra au chapitre 11 que $(\mathcal{P}(E), \Delta)$ est un groupe, dans lequel chaque partie est son propre opposé.

4. Pour chaque élément $x$ de $E$, un couple $(X,Y)$ vérifiant $X \subset Y$ laisse exactement trois possibilités : $x \in X$ (et donc $x \in Y$), $x \in Y \setminus X$, ou $x \notin Y$. Ces choix sont indépendants d'un élément à l'autre, ce qui donne, par le principe multiplicatif évoqué dans le cours : $$\boxed{3^{n} \text{ couples tels que } X \subset Y}$$ De même, pour $X \cap Y = \varnothing$, chaque élément est dans $X$ seulement, dans $Y$ seulement, ou dans aucune ; pour $X \cup Y = E$, il est dans $X$ seulement, dans $Y$ seulement, ou dans les deux. $$\boxed{3^{n} \text{ couples dans chacun des trois cas.}}$$ Ce n'est pas une coïncidence. D'après le point (v) de la proposition 7 du cours, $X \subset Y \Leftrightarrow X \cap \overline{Y} = \varnothing$ : remplacer $Y$ par son complémentaire fait passer, un à un, des couples du premier type à ceux du deuxième. D'après les lois de De Morgan, $X \cap Y = \varnothing \Leftrightarrow \overline{X} \cup \overline{Y} = E$ : remplacer $X$ et $Y$ par leurs complémentaires fait passer du deuxième type au troisième. Pour $n = 1$, on vérifie directement les trois couples $(\varnothing,\varnothing)$, $(\varnothing,E)$, $(E,E)$ du premier type. ✓