Exercice 40

1. On calcule $2^{k}(2m + 1)$ pour $m = 0$, …, $4$ : $$\boxed{A_{0} : 1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9} \qquad \boxed{A_{1} : 2,\ 6,\ 10,\ 14,\ 18} \qquad \boxed{A_{2} : 4,\ 12,\ 20,\ 28,\ 36}$$ L'ensemble $A_{0}$ est celui des entiers impairs, et $A_{k}$ celui des entiers dont la plus grande puissance de $2$ qui les divise est $2^{k}$.

2. Il y a trois points à vérifier : les $A_{k}$ sont des parties non vides de $\mathbb{N}^{*}$, ils recouvrent $\mathbb{N}^{*}$, et ils sont deux à deux disjoints.

• Chaque $A_{k}$ est inclus dans $\mathbb{N}^{*}$ et contient $2^{k}$.

• Recouvrement, par récurrence forte : $1 = 2^{0} \times 1 \in A_{0}$. Soit $n \geqslant 1$ tel que tout entier de $[\![1\,;n]\!]$ appartienne à l'un des $A_{k}$. Si $n + 1$ est impair, il appartient à $A_{0}$. Sinon $n + 1 = 2p$ avec $1 \leqslant p \leqslant n$ ; par hypothèse $p = 2^{j}(2m + 1)$, donc $n + 1 = 2^{j+1}(2m+1) \in A_{j+1}$.

• Disjonction. Supposons $2^{k}(2m+1) = 2^{\ell}(2p+1)$ avec $k < \ell$. En divisant par $2^{k}$, on obtient $2m + 1 = 2^{\ell - k}(2p + 1)$, nombre pair puisque $\ell - k \geqslant 1$ : contradiction. Donc $A_{k} \cap A_{\ell} = \varnothing$ dès que $k \neq \ell$.

$$\boxed{(A_{k})_{k \in \mathbb{N}} \text{ est une partition de } \mathbb{N}^{*}.}$$ Autrement dit, tout entier $n \geqslant 1$ s'écrit de façon unique $n = 2^{k}(2m + 1)$ : l'exposant $k$ est appelé la valuation $2$-adique de $n$ (chapitre 12).

3. Oui. Notons $P$ la réunion des $A_{k}$ d'indice $k$ pair et $I$ celle des $A_{k}$ d'indice impair. D'après la question 2, $P$ et $I$ forment une partition de $\mathbb{N}^{*}$, puisque $1 \in P$ et $2 \in I$. Si $n \in A_{k}$, alors $2n \in A_{k+1}$ : les indices de $n$ et $2n$ sont de parités différentes, donc $n$ et $2n$ ne sont jamais dans la même partie. $$\boxed{P = \bigcup_{k \text{ pair}} A_{k} \text{ et } I = \bigcup_{k \text{ impair}} A_{k} \text{ conviennent.}}$$ Ce n'est pas la seule. Pour chaque entier impair $m$, les entiers $m$, $2m$, $4m$, … doivent alterner entre les deux parties ; une fois choisie la partie qui contient $m$, toute la suite est déterminée. Ces suites sont deux à deux disjointes (question 2), et le choix peut être fait indépendamment pour chaque entier impair $m$ ; inversement, une partition ainsi construite convient, puisque $n$ et $2n$ sont toujours dans la même suite. $$\boxed{\text{Il existe une infinité de telles partitions : une par choix de la partie de chaque entier impair.}}$$ À retenir : il y en a même « beaucoup trop » pour être rangées en une suite : choisir la partie de chaque entier impair revient à choisir une partie de l'ensemble des entiers impairs, et l'exercice 48 montrera que de tels choix ne peuvent pas être numérotés.