Exercice 44

1. Une partie $A$ est $1$-syndétique lorsque $A \cap \{n\} \neq \varnothing$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, c'est-à-dire lorsque tout entier naturel appartient à $A$. $$\boxed{\text{La seule partie } 1\text{-syndétique de } \mathbb{N} \text{ est } \mathbb{N} \text{ elle-même.}}$$ Soit $A$ une partie $k$-syndétique et $n \in \mathbb{N}$. Comme $[\![n\,;n + k - 1]\!] \subset [\![n\,;n + k]\!]$, la partie non vide $A \cap [\![n\,;n + k - 1]\!]$ est incluse dans $A \cap [\![n\,;n + k]\!]$, qui est donc non vide elle aussi. $$\boxed{\text{Toute partie } k\text{-syndétique est } (k+1)\text{-syndétique.}}$$ Soit $k \geqslant 1$ et $A_{k}$ l'ensemble des multiples de $k + 1$ dans $\mathbb{N}$. Soit $n \in \mathbb{N}$. L'ensemble des entiers $j \in \mathbb{N}$ tels que $(k+1)j \geqslant n$ est une partie non vide de $\mathbb{N}$, puisqu'il contient $n$ ; d'après la proposition 4 du cours, il possède un plus petit élément $j_{0}$. Si $j_{0} = 0$, alors $n = 0$ et $0 \in A_{k} \cap [\![n\,;n + k]\!]$. Sinon, la minimalité de $j_{0}$ donne $(k+1)(j_{0} - 1) < n$, c'est-à-dire $(k+1)j_{0} < n + k + 1$ ; le multiple $(k+1)j_{0}$ appartient alors à $[\![n\,;n + k]\!]$. Ainsi $A_{k}$ est $(k+1)$-syndétique. En revanche, les $k$ entiers $1$, $2$, …, $k$ sont strictement compris entre $0$ et $k + 1$ : aucun n'est multiple de $k + 1$, et $A_{k} \cap [\![1\,;k]\!] = \varnothing$. $$\boxed{\text{L'ensemble des multiples de } k + 1 \text{ est } (k+1)\text{-syndétique sans être } k\text{-syndétique.}}$$ Pour $k = 2$, on obtient l'ensemble des multiples de $3$, qui est $3$-syndétique sans être $2$-syndétique.

2. La partie $A$ est syndétique si $\exists k \in \mathbb{N}^{*},\ \forall n \in \mathbb{N},\ A \cap [\![n\,;n + k - 1]\!] \neq \varnothing$. On nie les quantificateurs un à un, selon la proposition 2 du cours : $$\boxed{A \text{ n'est pas syndétique} \iff \forall k \in \mathbb{N}^{*},\ \exists n \in \mathbb{N},\ A \cap [\![n\,;n + k - 1]\!] = \varnothing}$$ Or dire que $A \cap [\![n\,;n + k - 1]\!] = \varnothing$, c'est dire que $[\![n\,;n + k - 1]\!] \subset \mathbb{N} \setminus A$. L'assertion obtenue affirme donc que, pour toute longueur $k \geqslant 1$, le complémentaire de $A$ contient $k$ entiers consécutifs. $$\boxed{A \text{ n'est pas syndétique} \iff \mathbb{N} \setminus A \text{ contient des plages d'entiers consécutifs de toute longueur.}}$$ Piège : l'assertion « $A \cap [\![n\,;n + k - 1]\!] \neq \varnothing$ » contient elle-même un quantificateur caché, « il existe $a \in A$ tel que $n \leqslant a \leqslant n + k - 1$ ». La définition est donc de la forme $\exists k\ \forall n\ \exists a$, et sa négation de la forme $\forall k\ \exists n\ \forall a$ : c'est le « pour tout $a$ » final qui se traduit par une inclusion dans le complémentaire.

3. Parmi deux entiers consécutifs $n$ et $n + 1$, l'un est pair : si $n$ est impair, $n + 1$ est pair. L'ensemble des entiers pairs est donc $2$-syndétique, mais pas $1$-syndétique puisqu'il ne contient pas $1$. $$\boxed{\text{Les entiers pairs forment une partie syndétique.}}$$ Notons $C$ l'ensemble des carrés et soit $k \geqslant 1$. Les $k$ entiers $k^{2} + 1$, …, $k^{2} + k$ sont strictement compris entre $k^{2}$ et $(k+1)^{2} = k^{2} + 2k + 1$. Aucun n'est un carré : pour $m \in \mathbb{N}$, si $m \leqslant k$, alors $m^{2} \leqslant k^{2}$, et si $m \geqslant k + 1$, alors $m^{2} \geqslant (k+1)^{2}$. Ainsi $[\![k^{2} + 1\,;k^{2} + k]\!] \subset \mathbb{N} \setminus C$ pour tout $k \geqslant 1$, et la question 2 conclut. $$\boxed{\text{L'ensemble des carrés n'est pas syndétique.}}$$ L'écart entre deux carrés consécutifs, $(m+1)^{2} - m^{2} = 2m + 1$, finit par dépasser toute longueur fixée : c'est ce que traduit le calcul précédent.

4. Soit $k \geqslant 1$ et $N = 2 \times 3 \times \dots \times (k+1)$. Pour tout $j \in [\![2\,;k+1]\!]$, l'entier $j$ divise $N$, donc il divise $N + j$ ; comme $N + j > j \geqslant 2$, l'entier $N + j$ possède un diviseur $j$ tel que $1 < j < N + j$, et il n'est pas premier. Les $k$ entiers consécutifs $N + 2$, …, $N + k + 1$ sont donc tous dans le complémentaire de l'ensemble des nombres premiers, et la question 2 s'applique. $$\boxed{\text{L'ensemble des nombres premiers n'est pas syndétique.}}$$ Pour $k = 3$, on trouve $N = 24$ et les entiers $26 = 2 \times 13$, $27 = 3 \times 9$, $28 = 4 \times 7$. La méthode ne fournit pas la plus petite liste possible : $8$, $9$, $10$ convenaient déjà.

À retenir : d'après le théorème 6 du cours, l'ensemble des nombres premiers est infini, et pourtant il n'est pas syndétique. Être infini, c'est contenir des éléments aussi grands que l'on veut ; être syndétique, c'est en contenir dans toute fenêtre d'une longueur fixée. La seconde propriété est beaucoup plus forte, et les nombres premiers ne la possèdent pas : ils se raréfient.

5. Posons $$A = \bigcup_{j \in \mathbb{N}} [\![j^{2}\,;j^{2} + j]\!] = \{0,\ 1,\ 2,\ 4,\ 5,\ 6,\ 9,\ 10,\ 11,\ 12,\ 16,\ \dots\}.$$ Soit $k \geqslant 1$. D'une part, $A$ contient les $k + 1$ entiers consécutifs de $[\![k^{2}\,;k^{2} + k]\!]$. D'autre part, les $k$ entiers de $[\![k^{2} + k + 1\,;k^{2} + 2k]\!]$ n'appartiennent pas à $A$ : soit $n$ l'un d'eux et $j \in \mathbb{N}$ ; si $j \leqslant k$, alors $j^{2} + j \leqslant k^{2} + k < n$, et si $j \geqslant k + 1$, alors $j^{2} \geqslant k^{2} + 2k + 1 > n$, de sorte que $n \notin [\![j^{2}\,;j^{2} + j]\!]$. Ainsi $A$ et $\mathbb{N} \setminus A$ contiennent chacun des listes d'entiers consécutifs aussi longues que l'on veut. D'après la question 2, appliquée à $A$ puis à $\mathbb{N} \setminus A$ (dont le complémentaire est $A$), aucune des deux parties n'est syndétique. $$\boxed{A = \bigcup_{j \in \mathbb{N}} [\![j^{2}\,;j^{2} + j]\!] : \text{ ni } A \text{ ni } \mathbb{N} \setminus A \text{ n'est syndétique.}}$$ Piège : la négation de « $A$ est syndétique » n'est pas « $\mathbb{N} \setminus A$ est syndétique ». Les deux parties d'un partage de $\mathbb{N}$ peuvent échouer toutes deux, comme ici, et elles peuvent aussi réussir toutes deux, comme les entiers pairs et les entiers impairs. La question 2 donne la bonne traduction : $A$ n'est pas syndétique exactement lorsque son complémentaire contient de longues plages d'entiers consécutifs.