Exercice 45

1. Une partie est ouverte si, autour de chacun de ses points, elle contient tout un petit intervalle centré en ce point : on peut déplacer légèrement n'importe lequel de ses points sans en sortir.

La partie $\varnothing$ est ouverte, car la condition « pour tout $x \in \varnothing$ » est vide, donc vraie. La partie $\mathbb{R}$ est ouverte, n'importe quel $\varepsilon > 0$ convenant. Par conséquent $\varnothing = \mathbb{R} \setminus \mathbb{R}$ et $\mathbb{R} = \mathbb{R} \setminus \varnothing$ sont aussi fermées. $$\boxed{\varnothing \text{ et } \mathbb{R} \text{ sont à la fois ouvertes et fermées.}}$$ Piège : « fermée » n'est pas le contraire d'« ouverte ». Une partie peut être les deux à la fois, comme ici, ou aucun des deux, comme à la question 5.

2. Soit $x > 0$ ; pour $\varepsilon = x$, on a $]0\,,2x[ \; \subset \; ]0\,,+\infty[$. $$\boxed{]0\,,+\infty[ \text{ est ouvert.}}$$ Le point $0$ appartient à $[0\,,1]$, mais pour tout $\varepsilon > 0$, l'intervalle $]-\varepsilon\,,\varepsilon[$ contient $-\frac{\varepsilon}{2} \notin [0\,,1]$. $$\boxed{[0\,,1] \text{ n'est pas ouvert.}}$$ Son complémentaire est $]-\infty\,,0[ \, \cup \, ]1\,,+\infty[$. Pour $x < 0$, le réel $\varepsilon = |x|$ convient ; pour $x > 1$, le réel $\varepsilon = x - 1$ convient. Ce complémentaire est ouvert. $$\boxed{[0\,,1] \text{ est fermé.}}$$

3. Soit $(O_{i})_{i \in I}$ une famille de parties ouvertes et $x$ un point de leur réunion. Il existe $i_{0}$ tel que $x \in O_{i_{0}}$, puis $\varepsilon > 0$ tel que $]x - \varepsilon\,,x + \varepsilon[ \; \subset O_{i_{0}} \subset \bigcup_{i} O_{i}$. Pour deux ouverts $O_{1}$, $O_{2}$ et $x \in O_{1} \cap O_{2}$, on dispose de $\varepsilon_{1}$ et $\varepsilon_{2}$, et $\varepsilon = \min(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2})$ convient pour les deux. $$\boxed{\text{Toute réunion d'ouverts est ouverte ; l'intersection de deux ouverts est ouverte.}}$$ Par les lois de De Morgan pour une famille (proposition 8 du cours), le complémentaire d'une intersection de fermés est une réunion d'ouverts, et celui d'une réunion de deux fermés une intersection de deux ouverts. $$\boxed{\text{Toute intersection de fermés est fermée ; la réunion de deux fermés est fermée.}}$$ Par récurrence, ces résultats s'étendent à un nombre fini d'ouverts ou de fermés.

4. Non. D'après le cours, $\bigcap_{n \geqslant 1} \left]-\frac{1}{n}\,,\frac{1}{n}\right[ = \{0\}$, qui n'est pas ouvert : tout intervalle $]-\varepsilon\,,\varepsilon[$ contient $\frac{\varepsilon}{2} \neq 0$. $$\boxed{\text{Une intersection infinie d'ouverts n'est pas toujours ouverte.}}$$ La démonstration de la question 3 échoue précisément ici : les rayons $\varepsilon_{n} = \frac{1}{n}$ n'ont pas de plus petit élément strictement positif.

5. $\mathbb{Q}$ n'est pas ouvert. Le point $0$ est rationnel. Pour tout $\varepsilon > 0$, la propriété d'Archimède donne $n$ tel que $\frac{1}{n} < \frac{\varepsilon}{\sqrt{2}}$ ; le réel $\frac{\sqrt{2}}{n}$ appartient alors à $]-\varepsilon\,,\varepsilon[$ et il est irrationnel, d'après l'exercice 11 (produit du rationnel non nul $\frac{1}{n}$ par l'irrationnel $\sqrt{2}$).

$\mathbb{Q}$ n'est pas fermé, c'est-à-dire que $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ n'est pas ouvert. Le point $\sqrt{2}$ est irrationnel. Soit $\varepsilon > 0$ et $n$ tel que $\frac{1}{n} < \varepsilon$ ; d'après l'exercice 5 (f), il existe un entier $k$ tel que $k \leqslant n\sqrt{2} < k + 1$. Alors $0 \leqslant \sqrt{2} - \frac{k}{n} < \frac{1}{n} < \varepsilon$, et le rationnel $\frac{k}{n}$ appartient à $]\sqrt{2} - \varepsilon\,,\sqrt{2} + \varepsilon[$. $$\boxed{\mathbb{Q} \text{ n'est ni ouvert ni fermé.}}$$ On a démontré au passage que tout intervalle ouvert non vide contient des rationnels et des irrationnels : c'est la densité, qui sera étudiée au chapitre 7.

6. $\mathbb{Z}$ est fermé : son complémentaire est la réunion des intervalles $]k\,,k+1[$, $k \in \mathbb{Z}$, qui sont ouverts (pour $x \in \,]a\,,b[$, le réel $\varepsilon = \min(x - a, b - x)$ convient), donc ce complémentaire est ouvert d'après la question 3.

$S = \left\{\frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N}^{*}\right\}$ n'est pas fermé : le point $0$ n'appartient pas à $S$, mais tout intervalle $]-\varepsilon\,,\varepsilon[$ contient un élément $\frac{1}{n}$ de $S$, par la propriété d'Archimède. Le complémentaire de $S$ n'est donc pas ouvert.

$S \cup \{0\}$ est fermé : son complémentaire est $$]-\infty\,,0[ \;\cup\; ]1\,,+\infty[ \;\cup\; \bigcup_{n \geqslant 1} \left]\frac{1}{n+1}\,,\frac{1}{n}\right[,$$ réunion d'ouverts. En effet, si $0 < x < 1$ et $x \notin S$, l'entier $n$ tel que $n \leqslant \frac{1}{x} < n + 1$ vérifie $n \geqslant 1$ et $\frac{1}{n+1} < x \leqslant \frac{1}{n}$, avec $x \neq \frac{1}{n}$. $$\boxed{\mathbb{Z} \text{ et } S \cup \{0\} \text{ sont fermés ; } S \text{ ne l'est pas.}}$$ À retenir : ajouter le point $0$, vers lequel « s'accumulent » les éléments de $S$, suffit à rendre la partie fermée. Cette idée de point limite sera précisée en analyse.