Exercice 43

1. Notons $m = \min(x_{1},\dots,x_{n})$ et $M = \max(x_{1},\dots,x_{n})$. Pour tout $i$, on a $m \leqslant x_{i} \leqslant M$ ; en sommant ces $n$ encadrements, $nm \leqslant x_{1} + \dots + x_{n} \leqslant nM$, et l'on divise par $n > 0$. $$\boxed{\min(x_{1},\dots,x_{n}) \leqslant \frac{x_{1} + \dots + x_{n}}{n} \leqslant \max(x_{1},\dots,x_{n})}$$ Autrement dit, l'un des $x_{i}$ au moins est supérieur ou égal à la moyenne : c'est la forme générale de la question 3 de l'exercice 11.

2. Notons $x_{j}$ le nombre d'objets dans le tiroir $j$, pour $j \in [\![1\,;n]\!]$. Alors $x_{1} + \dots + x_{n} = m$, et la question 1 donne un tiroir tel que $x_{j} \geqslant \frac{m}{n} > 1$. Comme $x_{j}$ est un entier, $x_{j} \geqslant 2$. $$\boxed{\text{Un tiroir au moins contient au moins deux objets.}}$$

3. Chaque inscrit a entre $0$ et $N - 1$ amis. Mais les valeurs $0$ et $N - 1$ ne peuvent pas être prises toutes les deux : un inscrit ayant $N - 1$ amis est ami avec tous les autres, et aucun d'eux n'a alors $0$ ami. Les nombres d'amis prennent donc leurs valeurs dans $[\![0\,;N-2]\!]$ ou dans $[\![1\,;N-1]\!]$, deux ensembles à $N - 1$ éléments. En rangeant les $N$ inscrits dans $N - 1$ tiroirs, un par valeur possible, la question 2 donne deux inscrits dans le même tiroir. $$\boxed{\text{Deux inscrits au moins ont le même nombre d'amis.}}$$

4. On range les entiers de $[\![1\,;2n]\!]$ dans les $n$ tiroirs $\{1,2\}$, $\{3,4\}$, …, $\{2n - 1, 2n\}$. Parmi $n + 1$ entiers distincts, deux sont dans le même tiroir, et ils sont consécutifs. Avec $n$ entiers, c'est faux : les entiers impairs $1$, $3$, …, $2n - 1$ n'en contiennent pas deux consécutifs. $$\boxed{\text{Vrai pour } n + 1 \text{ entiers, faux pour } n.}$$ À retenir : la difficulté d'un argument de tiroirs est toujours de choisir les tiroirs. Le principe sera formalisé au chapitre 2 avec la notion d'application : une application d'un ensemble à $m$ éléments dans un ensemble à $n < m$ éléments n'est jamais injective.