Exercice 42

1. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ Pour $P$ fausse et $Q$ vraie, $P \Rightarrow Q$ est vraie mais $\mathrm{non}\, P \Rightarrow \mathrm{non}\, Q$ est fausse. L'implication $\mathrm{non}\, P \Rightarrow \mathrm{non}\, Q$ est la contraposée de la réciproque $Q \Rightarrow P$, et non de $P \Rightarrow Q$ (schéma de la section 1.2.3 du cours).

2. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ La négation de $A \Rightarrow B$ est $A \ \mathrm{et}\ \mathrm{non}\, B$ : la bonne négation est « $\exists x \in \mathbb{R},\ x^{2} \geqslant 1 \ \mathrm{et}\ x < 1$ ». Pour voir que la méthode proposée est fausse, appliquons-la à l'assertion vraie « $\forall x \in \mathbb{R},\ x^{2} \geqslant 1 \Rightarrow |x| \geqslant 1$ » : elle fournirait « $\exists x \in \mathbb{R},\ x^{2} < 1 \ \mathrm{et}\ |x| < 1$ », vraie elle aussi pour $x = 0$. Une assertion et sa négation ne peuvent pas être vraies ensemble.

3. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ Si $A \subset B$, alors $A \cup B \subset B$ et $B \subset A \cup B$, donc $A \cup B = B$. Réciproquement, $A \subset A \cup B = B$.

4. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ Le maillon $P(0) \Rightarrow P(1)$ manque. L'assertion $P(n)$ : « $n = 0$ ou $n \geqslant 2$ » vérifie $P(0)$, et $P(n) \Rightarrow P(n+1)$ pour tout $n \geqslant 1$ puisque $n + 1 \geqslant 2$ ; pourtant $P(1)$ est fausse.

5. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ Les éléments de $\mathcal{P}(E \times F)$ sont des parties de $E \times F$, ceux de $\mathcal{P}(E) \times \mathcal{P}(F)$ des couples de parties : ce ne sont pas les mêmes objets. Les nombres d'éléments diffèrent d'ailleurs : si $E$ et $F$ ont chacun un élément, $\mathcal{P}(E \times F)$ en a $2^{1} = 2$, et $\mathcal{P}(E) \times \mathcal{P}(F)$ en a $2 \times 2 = 4$.

6. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ Chaque intervalle $\left]0\,,\frac{1}{n}\right[$ est non vide, mais leur intersection est vide : un réel $x$ commun vérifierait $0 < x < \frac{1}{n}$ pour tout $n$, ce que la propriété d'Archimède interdit. L'exercice 31 en donne un autre exemple avec les $[n\,,+\infty[$.

7. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ Le sens réciproque est clair. Supposons $E \times F = F \times E$. Soit $x \in E$ ; comme $F$ est non vide, on choisit $y \in F$, et $(x,y) \in E \times F = F \times E$ donne $x \in F$. Donc $E \subset F$, et de même $F \subset E$. L'hypothèse « non vides » est indispensable : $\varnothing \times \{1\} = \{1\} \times \varnothing = \varnothing$.

8. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ Par contraposition : si $n = 3k + 1$, alors $n^{2} = 3(3k^{2} + 2k) + 1$ ; si $n = 3k + 2$, alors $n^{2} = 3(3k^{2} + 4k + 1) + 1$. Dans les deux cas, $n^{2}$ n'est pas divisible par $3$. On en déduit l'irrationalité de $\sqrt{3}$ comme celle de $\sqrt{2}$ dans le cours.

9. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ Comme $\varnothing \in \mathcal{P}(E)$, la partie $\{\varnothing\}$ est incluse dans $\mathcal{P}(E)$, c'est-à-dire $\{\varnothing\} \in \mathcal{P}\big(\mathcal{P}(E)\big)$. Le piège porte sur la différence entre $\varnothing$ et $\{\varnothing\}$.

10. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ Soit $A$ une partie non vide de $\mathbb{Z}$, majorée par un réel $M$, et $m$ un entier supérieur à $M$. L'ensemble $\{m - a \mid a \in A\}$ est une partie non vide de $\mathbb{N}$ ; d'après la proposition 4 du cours, il possède un plus petit élément $m - a_{0}$. Pour tout $a \in A$, $m - a \geqslant m - a_{0}$, donc $a \leqslant a_{0}$ : $a_{0}$ est le plus grand élément de $A$. Le résultat est faux dans $\mathbb{Q}$ ou $\mathbb{R}$ : $\{x \in \mathbb{Q} \mid x < 1\}$ est majorée mais n'a pas de plus grand élément.