Exercice 21

1. Par récurrence sur $n$. Pour $n = 0$, $(3 + 2\sqrt{2})^{0} = 1 + 0\sqrt{2}$ : $a_{0} = 1$, $b_{0} = 0$. Si $(3 + 2\sqrt{2})^{n} = a_{n} + b_{n}\sqrt{2}$ avec $a_{n}$, $b_{n}$ entiers naturels, alors $$(3 + 2\sqrt{2})^{n+1} = (a_{n} + b_{n}\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2}) = (3a_{n} + 4b_{n}) + (2a_{n} + 3b_{n})\sqrt{2}.$$

$$\boxed{a_{n+1} = 3a_{n} + 4b_{n} \qquad b_{n+1} = 2a_{n} + 3b_{n}}$$ sont bien des entiers naturels.

2. On démontre de même, par récurrence, que $(3 - 2\sqrt{2})^{n} = a_{n} - b_{n}\sqrt{2}$ : c'est vrai pour $n = 0$, et si c'est vrai au rang $n$, alors $(a_{n} - b_{n}\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) = (3a_{n} + 4b_{n}) - (2a_{n} + 3b_{n})\sqrt{2} = a_{n+1} - b_{n+1}\sqrt{2}$, avec les mêmes relations de récurrence.

3. En multipliant les deux égalités, et comme $(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) = 9 - 8 = 1$ : $$a_{n}^{2} - 2b_{n}^{2} = (a_{n} + b_{n}\sqrt{2})(a_{n} - b_{n}\sqrt{2}) = 1^{n} = 1.$$ Il reste à voir que ces couples sont deux à deux distincts. Par récurrence, $a_{n} \geqslant 1$ pour tout $n$, donc $a_{n+1} \geqslant 3a_{n} > a_{n}$ : la suite $(a_{n})$ est strictement croissante. $$\boxed{(1,0),\ (3,2),\ (17,12),\ (99,70),\ \dots \text{ sont des solutions de } x^{2} - 2y^{2} = 1, \text{ en nombre infini.}}$$ Vérification : $17^{2} - 2 \times 12^{2} = 289 - 288 = 1$. ✓ On remarquera que $\frac{17}{12} \approx 1{,}4167$ et $\frac{99}{70} \approx 1{,}41429$ approchent $\sqrt{2} \approx 1{,}41421$ : comme $\frac{a_{n}}{b_{n}} - \sqrt{2} = \frac{1}{b_{n}(a_{n} + b_{n}\sqrt{2})}$, ces fractions en sont des approximations remarquablement précises. On montre en arithmétique que ce sont toutes les solutions dans $\mathbb{N}^{2}$.