Exercice 20

1. L'argument suppose que $D$ et $D'$ ont au moins deux points communs distincts, car deux points distincts déterminent une droite. Les points communs annoncés sont $M_{2}$, …, $M_{n}$.

• Pour $n = 1$, cette liste est vide : $D$ et $D'$ n'ont aucun point commun garanti.

• Pour $n = 2$, elle se réduit à $M_{2}$ : un seul point ne détermine pas une droite, et $D$ et $D'$ peuvent être distinctes.

$$\boxed{\text{L'argument d'hérédité est incorrect pour } n = 1 \text{ et } n = 2.}$$ Les deux cas ne sont pas de même nature. Pour $n = 1$, l'implication $P(1) \Rightarrow P(2)$ est vraie, puisque deux points sont toujours alignés : elle est seulement mal démontrée. Pour $n = 2$, l'implication $P(2) \Rightarrow P(3)$ est fausse, puisque $P(2)$ est vraie et $P(3)$ fausse : c'est là que la démonstration s'effondre. $$\boxed{P(2) \Rightarrow P(3) \text{ est fausse : c'est le maillon manquant.}}$$

À retenir : pour $n \geqslant 3$, l'implication $P(n) \Rightarrow P(n+1)$ est vraie, mais pour une raison inattendue : son hypothèse $P(n)$ est fausse. Une hérédité vraie ne garantit donc rien tant que la chaîne n'est pas complète depuis l'initialisation ; c'est la même leçon que l'exemple $10^{n} + 1$ du cours, vue sous un autre angle. Signalons enfin que l'argument suppose aussi les points $M_{2}$, …, $M_{n}$ non tous confondus.

2. Pour $n = 0$, le calcul fait intervenir $2^{n-1} = 2^{-1}$, c'est-à-dire l'entier $k = -1$, qui n'appartient pas à $[\![0\,;n]\!] = \{0\}$ : l'hypothèse de récurrence ne dit rien de $2^{-1}$, qui vaut d'ailleurs $\frac{1}{2}$. $$\boxed{\text{Le passage de } P(0) \text{ à } P(1) \text{ n'est pas justifié, et il est faux : } 2^{1} = 2.}$$ Pour $n \geqslant 1$, le calcul est correct, mais l'hypothèse est fausse : on retrouve la situation de la question précédente.