Exercice 17

Chaque question se traite par analyse-synthèse : on remplace les variables par des valeurs bien choisies pour obtenir des conditions nécessaires, puis on vérifie les candidats.

1. Analyse. Soit $f$ une solution. Avec $x = 0$, on obtient $f(y) = f(0) + y$ pour tout réel $y$ : en notant $c = f(0)$, la fonction $f$ est $y \mapsto y + c$.

Synthèse. Pour $f(x) = x + c$, on a $f(x + y) = x + y + c = f(x) + y$. $$\boxed{\text{Les solutions sont les fonctions } x \mapsto x + c, \ c \in \mathbb{R}.}$$ L'analyse laisse ici un paramètre libre : la synthèse montre qu'il ne faut pas le fixer, toutes les valeurs convenant.

2. Analyse. Soit $f$ une solution. Avec $x = y = 0$, on obtient $f(0)^{2} - f(0) = 0$, donc $f(0) \in \{0\,,1\}$. Si $f(0) = 0$, alors avec $y = 0$ : $f(x)f(0) - f(0) = x$, soit $0 = x$ pour tout réel $x$, ce qui est absurde. Donc $f(0) = 1$, et avec $y = 0$ : $f(x) - 1 = x$, c'est-à-dire $f(x) = x + 1$.

Synthèse. Pour $f(x) = x + 1$ : $(x+1)(y+1) - (xy + 1) = x + y$. $$\boxed{f(x) = x + 1}$$

3. Analyse. Soit $f$ une solution et $x$ un réel. En remplaçant $x$ par $-x$, on obtient une seconde équation, et l'on dispose du système : $$\left\{ \begin{array}{l} f(x) + x\,f(-x) = 1 + x \\ f(-x) - x\,f(x) = 1 - x \end{array} \right.$$ On tire $f(-x) = 1 - x + x f(x)$ de la seconde et on l'injecte dans la première : $$f(x) + x(1 - x) + x^{2} f(x) = 1 + x, \qquad\text{soit}\qquad (1 + x^{2})\,f(x) = 1 + x^{2}$$ Comme $1 + x^{2} \neq 0$, on obtient $f(x) = 1$.

Synthèse. La fonction constante égale à $1$ vérifie $1 + x \times 1 = 1 + x$. $$\boxed{f = 1 \text{ est l'unique solution.}}$$

4. Analyse. Soit $f$ une solution. Avec $y = f(x)$, on obtient $f(0) = 2 - x - f(x)$, donc $f(x) = 2 - x - f(0)$ pour tout réel $x$. En particulier, pour $x = 0$ : $f(0) = 2 - f(0)$, d'où $f(0) = 1$ et $f(x) = 1 - x$.

Synthèse. Pour $f(x) = 1 - x$ : $f\big(y - (1 - x)\big) = 1 - (y - 1 + x) = 2 - x - y$. $$\boxed{f(x) = 1 - x}$$

À retenir : le choix des valeurs substituées est le cœur de l'analyse. On cherche à annuler un terme ($x = 0$, $y = 0$), à faire apparaître une valeur connue ($y = f(x)$ rend l'argument nul), ou à exploiter une symétrie ($x \to -x$). Et l'on n'oublie jamais la synthèse, comme le rappelle la dernière remarque de la section 1.4.5 du cours.