Exercice 18

1. (a) Analyse. Soit $f$ une solution. Avec $x = y = 0$, la relation $(\ast)$ donne $f(0) = f(0)^{2} - f(0)^{2} = 0$. Avec $x = 0$ et $y$ quelconque, elle donne $y^{2} + f(0) = f(y)^{2} - f(0)f(y)$, c'est-à-dire $$\boxed{f(0) = 0 \qquad\text{et}\qquad \forall y \in \mathbb{R},\ f(y)^{2} = y^{2}}$$ On en déduit que, pour chaque réel $y$, $f(y) = y$ ou $f(y) = -y$. On ne peut pas en conclure que $f = \mathrm{id}$ ou $f = -\mathrm{id}$ : le choix du signe peut dépendre de $y$, comme pour la fonction valeur absolue, qui vérifie aussi $f(y)^{2} = y^{2}$. C'est l'erreur la plus répandue sur cet exercice, qui confond « $\forall y,\ (A(y) \ \mathrm{ou}\ B(y))$ » et « $(\forall y,\ A(y)) \ \mathrm{ou}\ (\forall y,\ B(y))$ ».

1. (b) Avec $y = x$, la relation $(\ast)$ donne $x\,f(x) + x^{2} + f(x^{2}) = f(2x)^{2} - f(x)^{2} = 4x^{2} - x^{2}$, d'après (a). Ainsi $$x\,f(x) + f(x^{2}) = 2x^{2}.$$ Or $|x\,f(x)| = x^{2}$ et $|f(x^{2})| = x^{2}$, d'après (a). La somme de deux réels inférieurs ou égaux à $x^{2}$ ne peut valoir $2x^{2}$ que s'ils valent tous deux $x^{2}$. Donc $x\,f(x) = x^{2}$, et pour $x \neq 0$, $f(x) = x$ ; enfin $f(0) = 0$.

1. (c) Synthèse. Pour $f = \mathrm{id}$, le membre de gauche vaut $x^{2} + y^{2} + xy$ et celui de droite $(x + y)^{2} - xy = x^{2} + xy + y^{2}$. $$\boxed{\text{L'unique solution de } (\ast) \text{ est l'identité de } \mathbb{R}.}$$

2. Analyse. Soit $f$ une solution. Avec $x = 0$, on obtient $f(0) = f(0) + f(y)$, donc $f(y) = 0$ pour tout réel $y$. Synthèse. La fonction nulle convient. $$\boxed{\text{La seule solution est la fonction nulle.}}$$ Le logarithme népérien vérifie bien $\ln(xy) = \ln x + \ln y$, mais seulement pour $x$, $y$ strictement positifs : c'est la présence de $0$ dans le domaine qui tue toutes les solutions non nulles. Le domaine fait partie de l'énoncé d'une équation fonctionnelle.

3. Pour tout $n$, l'inégalité s'écrit $x^{n}(x^{2} - x - 1) \leqslant 0$. Le trinôme $x^{2} - x - 1$ a pour racines $\psi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \approx -0{,}618$ et $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$ ; il est négatif ou nul exactement sur $[\psi\,,\varphi]$.

Analyse. Soit $x$ une solution. Pour $n = 0$, on obtient $x^{2} - x - 1 \leqslant 0$, donc $x \in [\psi\,,\varphi]$. Si de plus $x < 0$, alors pour $n = 1$, l'inégalité $x(x^{2} - x - 1) \leqslant 0$ impose $x^{2} - x - 1 \geqslant 0$ ; avec la condition précédente, $x^{2} - x - 1 = 0$, donc $x = \psi$.

Synthèse. Si $x \in [0\,,\varphi]$, alors $x^{n} \geqslant 0$ et $x^{2} - x - 1 \leqslant 0$, d'où le résultat pour tout $n$. Si $x = \psi$, alors $x^{n}(x^{2} - x - 1) = 0$ pour tout $n$. $$\boxed{\left\{\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right\} \cup \left[0\,,\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right]}$$ Le point isolé $\psi$ est le piège de l'exercice : sur les négatifs, le signe de $x^{n}$ alterne, et seule une racine du trinôme survit à cette alternance. Le nombre $\varphi$ est le nombre d'or, que l'on retrouvera dans l'exercice 23 sur la suite de Fibonacci.