Exercice 24

1. En notant $C$ l'ensemble des carrés parfaits, les deux énoncés s'écrivent $$\text{(A)}\ \ \forall n \geqslant 1,\ \exists (a_{1},\dots,a_{n}) \in (\mathbb{N}^{*})^{n},\ \sum_{k=1}^{n} a_{k}^{2} \in C \qquad \text{(B)}\ \ \exists (a_{k})_{k \geqslant 1},\ \forall n \geqslant 1,\ \sum_{k=1}^{n} a_{k}^{2} \in C.$$ Dans (A), les entiers $a_{1}$, …, $a_{n}$ peuvent être choisis à nouveau pour chaque $n$ ; dans (B), une seule suite doit convenir pour tous les $n$ à la fois, chaque somme partielle étant un carré. L'énoncé (B) entraîne (A) : il suffit de prendre les $n$ premiers termes de la suite. La réciproque n'a aucune raison d'être vraie a priori : c'est l'échange de $\forall$ et $\exists$.

2. Comme $c$ est impair, $c^{2} - 1$ et $c^{2} + 1$ sont pairs, et $$c^{2} + \left(\frac{c^{2} - 1}{2}\right)^{2} = \frac{4c^{2} + c^{4} - 2c^{2} + 1}{4} = \left(\frac{c^{2} + 1}{2}\right)^{2}.$$ De plus, $c = 2k + 1$ donne $\frac{c^{2} + 1}{2} = 2k^{2} + 2k + 1$, qui est impair. $$\boxed{c^{2} + \left(\frac{c^{2} - 1}{2}\right)^{2} = \left(\frac{c^{2} + 1}{2}\right)^{2}, \text{ carré d'un entier impair.}}$$

3. On construit la suite par récurrence en maintenant l'assertion $P(n)$ : « $a_{1}^{2} + \dots + a_{n}^{2} = c_{n}^{2}$, avec $c_{n} \geqslant 3$ entier impair ». Avec $a_{1} = 3$, on a $c_{1} = 3$. Si $P(n)$ est vraie, on pose $a_{n+1} = \frac{c_{n}^{2} - 1}{2}$, entier strictement positif puisque $c_{n} \geqslant 3$ ; la question 2 donne $a_{1}^{2} + \dots + a_{n+1}^{2} = c_{n}^{2} + a_{n+1}^{2} = c_{n+1}^{2}$ avec $c_{n+1} = \frac{c_{n}^{2} + 1}{2}$ impair et supérieur à $c_{n} \geqslant 3$. $$\boxed{a_{1} = 3,\ a_{2} = 4,\ a_{3} = 12,\ a_{4} = 84}$$ On vérifie : $9 + 16 = 25 = 5^{2}$, puis $25 + 144 = 169 = 13^{2}$, puis $169 + 7\,056 = 7\,225 = 85^{2}$. ✓ L'énoncé (A) en découle, d'après la question 1. La suite croît très vite : le terme suivant est $a_{5} = 3\,612$.

À retenir : il était ici plus facile de démontrer l'énoncé le plus fort, car il fournit une hypothèse de récurrence exploitable : la somme précédente est déjà un carré. On retrouve la leçon de l'exercice 19 sur le renforcement de l'hypothèse de récurrence.