Exercice 23

1. Si $X \cup Y = \Omega$, toute partie $A$ s'écrit $A = A \cap \Omega = (A \cap X) \cup (A \cap Y)$ : elle est déterminée par $\theta(A)$, et $\theta$ est injective. Si au contraire $\omega \in \Omega \setminus (X \cup Y)$, alors $\theta(\{\omega\}) = (\varnothing, \varnothing) = \theta(\varnothing)$. $$\boxed{\theta \text{ injective} \iff X \cup Y = \Omega}$$

2. Supposons $X \cap Y = \varnothing$, et soit $(B,C) \in \mathcal{P}(X) \times \mathcal{P}(Y)$. Posons $A = B \cup C$. Comme $C \subset Y$ est disjointe de $X$, on a $A \cap X = B$, et de même $A \cap Y = C$. Si au contraire $\omega \in X \cap Y$, le couple $(\{\omega\}, \varnothing)$ n'est pas atteint, car $\omega \in A \cap X$ entraîne $\omega \in A \cap Y$. $$\boxed{\theta \text{ surjective} \iff X \cap Y = \varnothing}$$

3. Lorsque $X$ et $Y$ forment une partition de $\Omega$, le calcul précédent donne la réciproque. $$\boxed{\theta^{-1}(B,C) = B \cup C}$$ Si $\Omega$ a $n$ éléments, dont $k$ dans $X$ et $n - k$ dans $Y$, la bijection $\theta$ et le lemme 6 du cours donnent $2^{n} = \mathrm{card}\big(\mathcal{P}(X) \times \mathcal{P}(Y)\big) = 2^{k} \times 2^{n-k}$. Plus profondément : choisir une partie de $\Omega$, c'est choisir indépendamment sa trace sur $X$ et sa trace sur $Y$, ce qui est l'idée même du principe multiplicatif.