Exercice 22

1. Si $f$ est injective, l'exercice 21 donne $\psi \circ \varphi = \mathrm{id}_{\mathcal{P}(E)}$, donc $\varphi$ est injective et $\psi$ surjective (proposition 6 du cours). Réciproquement :

• si $\varphi$ est injective et $f(x) = f(x')$, alors $\varphi(\{x\}) = \varphi(\{x'\})$, donc $x = x'$ ;

• si $\psi$ est surjective, soit $x$, $x'$ tels que $f(x) = f(x')$ ; il existe $Y$ tel que $\{x\} = f^{-1}(Y)$, donc $f(x) \in Y$, puis $f(x') \in Y$, et $x' \in \{x\}$.

2. Si $f$ est surjective, l'exercice 21 donne $\varphi \circ \psi = \mathrm{id}_{\mathcal{P}(F)}$, donc $\varphi$ est surjective et $\psi$ injective. Réciproquement :

• si $\varphi$ est surjective, il existe $X$ tel que $f(X) = F$, donc $f(E) \supset f(X) = F$ ;

• si $\psi$ est injective et $y_{0} \notin f(E)$, alors $\psi(\{y_{0}\}) = \varnothing = \psi(\varnothing)$, ce qui est absurde.

3. Si $f$ est bijective, les deux égalités $\psi \circ \varphi = \mathrm{id}_{\mathcal{P}(E)}$ et $\varphi \circ \psi = \mathrm{id}_{\mathcal{P}(F)}$ sont vraies. $$\boxed{\varphi \text{ et } \psi \text{ sont bijectives, et } \psi = \varphi^{-1}.}$$ On retrouve ainsi que, pour une bijection, l'image réciproque $f^{-1}(Y)$ est aussi l'image directe de $Y$ par la bijection réciproque $f^{-1}$ : la notation est cohérente.