Exercice 21

On rappelle que les inclusions $f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)$, $A \subset f^{-1}(f(A))$ et $f(f^{-1}(B)) \subset B$ sont toujours vraies (proposition 2 du cours).

1. Si $f$ est injective et $y \in f(A) \cap f(B)$, alors $y = f(a) = f(b)$ avec $a \in A$ et $b \in B$, donc $a = b \in A \cap B$, et $y \in f(A \cap B)$. Réciproquement, si $f(x) = f(x')$, on applique l'égalité avec $A = \{x\}$ et $B = \{x'\}$ : $f(A \cap B) = \{f(x)\}$ n'est pas vide, donc $\{x\} \cap \{x'\} \neq \varnothing$ et $x = x'$.

2. Le sens direct est la proposition 5 du cours. Réciproquement, si $f(x) = f(x')$, alors $x' \in f^{-1}\big(f(\{x\})\big) = \{x\}$, donc $x' = x$.

3. Le sens direct est la proposition 5 du cours. Réciproquement, avec $B = F$, on obtient $f(E) = f\big(f^{-1}(F)\big) = F$.

4. Supposons $f$ bijective. D'après la question 1, $f(E \setminus A) \cap f(A) = f(\varnothing) = \varnothing$, et $f(E \setminus A) \cup f(A) = f(E) = F$ : on a bien $f(E \setminus A) = F \setminus f(A)$. Réciproquement, supposons la propriété vraie pour toute partie $A$.

• Avec $A = \varnothing$, on obtient $f(E) = F$ : $f$ est surjective.

• Si $f(x) = f(x')$ avec $x \neq x'$, alors avec $A = \{x\}$, l'élément $f(x) = f(x')$ appartient à $f(E \setminus A)$, mais pas à $F \setminus f(A)$ : contradiction.

$$\boxed{\text{Les quatre équivalences sont établies.}}$$ Piège : il faut deux cas particuliers distincts pour la réciproque de la question 4 ; la partie vide seule ne dit rien sur l'injectivité.