Exercice 20

1. Si $f$ est injective et $f \circ g = f \circ h$, alors pour tout $z \in Z$, $f(g(z)) = f(h(z))$, donc $g(z) = h(z)$. Réciproquement, supposons la propriété de simplification vraie, et soit $x$, $x'$ tels que $f(x) = f(x')$. Prenons $Z = \{0\}$, $g : 0 \mapsto x$ et $h : 0 \mapsto x'$. Alors $f \circ g = f \circ h$, donc $g = h$, c'est-à-dire $x = x'$. $$\boxed{f \text{ injective} \iff f \text{ est simplifiable à gauche}}$$

2. Si $f$ est surjective et $g \circ f = h \circ f$, tout $y \in F$ s'écrit $f(x)$, et $g(y) = h(y)$. Réciproquement, supposons que $f$ ne soit pas surjective, et soit $y_{0} \in F \setminus f(E)$. Prenons $Z = \{0,1\}$, $g = \mathbf{1}_{\{y_{0}\}}$ et $h$ la fonction nulle. Pour tout $x$, $f(x) \neq y_{0}$, donc $g(f(x)) = 0 = h(f(x))$ : on a $g \circ f = h \circ f$, mais $g \neq h$. $$\boxed{f \text{ surjective} \iff f \text{ est simplifiable à droite}}$$

3. Fixons deux éléments distincts $a$ et $b$ de $G$.

• Injectivité de $\varphi$. Si $f$ est surjective, $\varphi$ est injective d'après la question 2. Si $f$ ne l'est pas, soit $y_{0} \notin f(E)$ ; la fonction constante égale à $a$ et la fonction qui vaut $a$ partout sauf en $y_{0}$, où elle vaut $b$, sont distinctes et ont la même image par $\varphi$.

• Surjectivité de $\varphi$. Supposons $f$ injective et soit $u \in G^{E}$. On pose $g(y) = u(x)$ si $y = f(x)$, l'élément $x$ étant unique, et $g(y) = a$ si $y \notin f(E)$. Alors $g \circ f = u$. Si $f$ n'est pas injective, soit $x \neq x'$ tels que $f(x) = f(x')$ ; toute fonction $g \circ f$ prend la même valeur en $x$ et en $x'$, donc la fonction $u$ qui vaut $a$ en $x$ et $b$ ailleurs n'est pas atteinte.

$$\boxed{\varphi \text{ injective} \iff f \text{ surjective} \qquad \varphi \text{ surjective} \iff f \text{ injective}}$$ À retenir : l'opération $g \mapsto g \circ f$ « renverse » injectivité et surjectivité. On retrouvera ce phénomène avec l'image réciproque à l'exercice 22, et plus tard avec la dualité en algèbre linéaire.