Exercice 19

1. Supposons $f$ injective, et fixons $a \in X$. Tout élément $y$ de $f(X)$ a un unique antécédent ; on le note $g(y)$, et l'on pose $g(y) = a$ si $y \notin f(X)$. Pour $x \in X$, l'élément $g(f(x))$ est l'unique antécédent de $f(x)$, c'est-à-dire $x$. Réciproquement, si $g \circ f = \mathrm{id}_{X}$, qui est injective, alors $f$ est injective d'après la proposition 6 du cours. $$\boxed{f \text{ injective} \iff \exists g : Y \to X,\ g \circ f = \mathrm{id}_{X}}$$ L'application $g$ n'est pas unique en général : sa valeur hors de $f(X)$ est arbitraire. Elle est unique lorsque $f$ est surjective, ou lorsque $X$ n'a qu'un élément.

2. Supposons $f$ surjective. Pour chaque $y \in Y$, la partie $f^{-1}(\{y\})$ est non vide ; on y choisit un élément $h(y)$, ce qui est licite d'après l'énoncé. Alors $f(h(y)) = y$. Réciproquement, si $f \circ h = \mathrm{id}_{Y}$, qui est surjective, alors $f$ est surjective. $$\boxed{f \text{ surjective} \iff \exists h : Y \to X,\ f \circ h = \mathrm{id}_{Y}}$$ Le choix simultané d'un antécédent pour chaque $y$ est l'axiome du choix. Il n'est pas nécessaire lorsque $X = \mathbb{N}$, car on peut prendre le plus petit antécédent.

3. L'application $f$ est injective sur $\mathbb{N}$ et non surjective, car $2$ n'est pas un carré. D'après les questions 1 et 2 : $$\boxed{g(m) = \begin{cases} \sqrt{m} & \text{si } m \text{ est un carré} \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} \text{ vérifie } g \circ f = \mathrm{id}_{\mathbb{N}} ; \text{ aucune } g \text{ ne vérifie } f \circ g = \mathrm{id}_{\mathbb{N}}.}$$