Exercice 18

1. Supposons $f$ injective. Pour $x \in E$, l'égalité $f\big(f^{n-1}(x)\big) = f(x)$ donne $f^{n-1}(x) = x$, d'où $f^{n-1} = \mathrm{id}_{E}$. D'après l'exercice 17, $f$ est bijective, donc surjective.

Supposons $f$ surjective, et soit $y \in E$, qui s'écrit $y = f(x)$. Alors $f^{n-1}(y) = f^{n}(x) = f(x) = y$, donc $f^{n-1} = \mathrm{id}_{E}$, et $f$ est bijective, donc injective. $$\boxed{f \text{ injective} \iff f \text{ surjective} \iff f^{n-1} = \mathrm{id}_{E}}$$ Ce résultat rappelle le théorème du cours sur les applications d'un ensemble fini dans lui-même ; ici, c'est l'hypothèse $f^{n} = f$ qui remplace la finitude.

2. Si $y = f(x)$, alors $f(y) = f(f(x)) = f(x) = y$. Si de plus $f$ est injective, l'égalité $f(f(x)) = f(x)$ donne $f(x) = x$ pour tout $x$. La réciproque est évidente. $$\boxed{f \text{ fixe chaque point de } f(E), \text{ et } f \text{ injective} \iff f = \mathrm{id}_{E}}$$ Une application telle que $f \circ f = f$ s'appelle un projecteur : on la retrouvera en algèbre linéaire, avec la projection orthogonale sur une droite du plan.

3. Il suffit que $f^{2} = \mathrm{id}$, puisqu'alors $f^{3} = f$. $$\boxed{f : \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ x \mapsto -x \text{ vérifie } f^{3} = f \text{ et } f \neq \mathrm{id}_{\mathbb{R}}.}$$