Exercice 17

1. D'après la proposition 6 du cours, l'injectivité de $g \circ f$ donne celle de $f$, et la surjectivité de $g \circ f$ donne celle de $g$. De même, $h \circ g$ bijective donne $g$ injective et $h$ surjective. Ainsi $g$ est bijective, et l'on peut écrire $$f = g^{-1} \circ (g \circ f) \qquad\text{et}\qquad h = (h \circ g) \circ g^{-1},$$ qui sont des composées de bijections. $$\boxed{f,\ g \text{ et } h \text{ sont bijectives.}}$$

2. On a $f \circ f^{n-1} = f^{n-1} \circ f = f^{n} = \mathrm{id}_{E}$, avec la convention $f^{0} = \mathrm{id}_{E}$. $$\boxed{f \text{ est bijective et } f^{-1} = f^{n-1}}$$

3. Supposons $f$ injective. Pour $x \in E$, l'égalité $f\big((g \circ f)(x)\big) = f(x)$ donne $(g \circ f)(x) = x$. Supposons $g$ surjective, et soit $x \in E$ ; il s'écrit $x = g(y)$, et l'égalité $g \circ f \circ g = g$ appliquée à $y$ donne $(g \circ f)(x) = x$. $$\boxed{g \circ f = \mathrm{id}_{E}}$$ Pour un exemple, prenons $E = \{0\}$, $F = \{0,1\}$, $f(0) = 0$ et $g(0) = g(1) = 0$. Les deux identités se vérifient directement, puisque toutes les composées à valeurs dans $E$ sont constantes égales à $0$, et $f(g(f(0))) = f(0)$. $$\boxed{f \text{ est injective non surjective, } g \text{ surjective non injective.}}$$