Exercice 16

1. On examine les quatre affirmations.

• (a) Si $x$, $x' \in A$ et $f_{|A}(x) = f_{|A}(x')$, alors $f(x) = f(x')$, donc $x = x'$. L'affirmation est vraie.

• (b) La fonction carré, de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, n'est pas injective, alors que sa restriction à $\mathbb{R}_{+}$ l'est. L'affirmation est fausse.

• (c) La fonction carré, de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}_{+}$, est surjective, mais sa restriction à $\{1\}$ ne prend que la valeur $1$. L'affirmation est fausse.

• (d) On a $F = f_{|A}(A) = f(A) \subset f(E)$, donc $f$ est surjective. L'affirmation est vraie.

$$\boxed{\text{(a) et (d) sont vraies ; (b) et (c) sont fausses.}}$$ Restreindre conserve l'injectivité et peut la créer ; agrandir conserve la surjectivité et peut la créer.

2. Supposons $f$ impaire, et soit $y \in \mathbb{R}$. Posons $x = f^{-1}(y)$. Alors $f(-x) = -f(x) = -y$, donc $f^{-1}(-y) = -x = -f^{-1}(y)$ : la réciproque est impaire. Comme $f$ est la réciproque de $f^{-1}$, la réciproque est vraie. $$\boxed{f \text{ impaire} \iff f^{-1} \text{ impaire}}$$ Une fonction paire vérifie $f(-1) = f(1)$, avec $-1 \neq 1$ : elle n'est pas injective. $$\boxed{\text{Il n'existe aucune bijection paire de } \mathbb{R} \text{ dans } \mathbb{R}.}$$